9 Pierwsze Prawo Kirchhoffa Suma Algebraiczna Wartości Chwilowych

9 pierwsze prawo kirchhoffa ========================= suma algebraiczna wartości chwilowych prądów zbiegających się w węźle obwodu

9
Pierwsze prawo Kirchhoffa
=========================
Suma algebraiczna wartości chwilowych prądów zbiegających się w węźle
obwodu elektrycznego rozgałęzionego jest równa zeru

Drugie prawo Kirchhoffa
=======================
Suma algebraiczna wartości chwilowych napięć źródłowych i napięć
odbiornikowych występujących w oczku obwodu elektrycznego
rozgałęzionego jest równa zeru

Prawo koła napięć
=================
Suma algebraiczna chwilowych wartości napięć źródłowych i napięć
odbiornikowych występujących w zamkniętym kole utworzonym w obwodzie
prądu przemiennego jest równa zeru

Metoda Kirchhoffa
=================
W ogólnym przypadku w każdej gałęzi obwodu płynie inny prąd, z czego
wynika że liczba prądów jest równa liczbie gałęzi obwodu. Do
obliczenia tych prądów należy ułożyć tyle niezależnych równań, ile
dany obwód ma gałęzi. Korzysta się tu z zależności, jaka zachodzi
między liczbą gałęzi g, liczbą węzłów w oraz liczbą oczek o obwodu w
postaci

Tok obliczeń jest następujący:
1.
Strzałkuje się dowolnie prądy we wszystkich gałęziach obwodu.
2.
Strzałkuje się napięcia (przeciwnie do strzałki prądu) na
wszystkich elementach rezystancyjnych i reaktancyjnych łącznie z
elementami wewnętrznymi źródeł napięcia.
3.
Układa się (w-1) równań gałęziowych według pierwszego prawa
Kirchhoffa w postaci zespolonej opuszczając jeden dowolny
węzeł.
4.
Układa się tyle równań według drugiego prawa Kirchhoffa w postaci
zespolonej ile dany obwód zawiera oczek.
5.
Rozwiązuje się powyższy układ ze względu na nieznane prądy
gałęziowe.
Zaletą metody równań Kirchhoffa jest duża prostota w trakcie układania
równań, natomiast wadą jest duża pracochłonność przy ich
rozwiązywaniu.
Metoda prądów oczkowych (cyklicznych)
=====================================
W metodzie prądów oczkowych zakłada się, że w każdym oddzielnym oczku
obwodu płynie tzw. prąd oczkowy niezależnie od prądów gałęziowych.
Wprowadza się nowe pojęcia takie jak:
*
impedancja oczka Zkk - suma wszystkich impedancji zespolonych
występujących w danym oczku.
*
impedancja wzajemna między oczkami Zkl - impedancja zespolona
gałęzi wspólnej między dwoma sąsiednimi oczkami k i l.
Równanie dla jednego oczka wygląda następująco:

Prąd cykliczny oczka k mnoży się przez impedancję własną oczka Zkk i
odejmuje się iloczyny złożone z prądów cyklicznych oczek sąsiednich
oraz impedancji wzajemnych Zkl. Po prawej stronie występuje suma
napięć źródłowych występujących w danym oczku dla którego układa się
równanie, przy czym siły elektromotoryczne E o zwrotach zgodnych z
prądem oczkowym stawia się ze znakiem dodatnim, a o zwrotach
przeciwnych ze znakiem ujemnym. Jeżeli w obwodzie występuje źródło
prądu, wtedy prąd oczkowy danego oczka jest równy prądowi źródła.
W przypadku istnienia w obwodzie sprzężeń magnetycznych można ułożyć
równania oczkowe uwzględniające te sprzężenia. Po zastrzałkowaniu
wszystkich prądów oczkowych o jednakowym zwrocie (np. prawoskrętnie)
układamy równania dla wszystkich oczek obwodu według następującego
wzoru ogólnego uwzględniającego wpływ sprzężeń magnetycznych:

gdzie:
Zkk - impedancja własna oczka,
Zkl - impedancja wzajemna oczek,
Ekk - napięcie źródłowe oczkowe,
Mkl - indukcyjność wzajemna między oczkami w oczkach sąsiadujących,
przy czym znak plus obowiązuje, gdy prądy oczkowe magnesują zgodnie
cewki w oczkach sąsiadujących, znak minus - w przypadku niezgodnego
magnesowania.
Obliczając impedancję własną oczka Zkk należy rozróżnić dwa przypadki:
a.
jeżeli istnieją sprzężenia magnetyczne między elementami
należącymi do tego samego oczka, wtedy w skład impedancji Zkk
wchodzą dodatkowo człony ±j2Mkl, przy czym znak plus odnosi się
do zgodnego magnesowania, znak minus do niezgodnego magnesowania
elementów,
b.
jeżeli brak jest sprzężeń między elementami należącymi do tego
samego oczka, wtedy impedancję własną oblicza się tak, jak w
obwodzie bez sprzężeń.
Metoda potencjałów węzłowych
============================
Metoda potencjałów węzłowych sprowadza się w zasadzie do ułożenia i
rozwiązania (w-1) równań węzłowych, gdzie w oznacza liczbę węzłów. W
tym celu zakłada się, że potencjał jednego z węzłów jest równy zeru.
Takie założenie jest dopuszczalne, ponieważ prądy w gałęziach nie
zależą od wartości potencjałów, ale od różnicy potencjałów na
zaciskach gałęzi. Jeżeli podwyższymy lub obniżymy potencjały
wszystkich węzłów o tę samą wartość, to różnice potencjałów między
dwoma dowolnymi węzłami nie zmienią się. Wobec tego można przyjąć
dowolną wartość potencjału jednego z węzłów, najprościej równą zeru.
Węzeł, którego potencjał przyjmujemy równy zeru nazywamy węzłem
odniesienia. Potencjały pozostałych węzłów obwodu oznacza się kolejno
liczbami zespolonymi V1, V1, …, Vn i dla tych węzłów układa się
równania węzłowe według wzoru:

Potencjał Vk węzła k, dla którego układa się równanie, mnoży się przez
sumę admitancji zespolonych wszystkich gałęzi schodzących się w tym
węźle. Następnie odejmuje się iloczyny złożone z potencjałów Vl węzłów
sąsiednich i admitancji zespolonych Ykl gałęzi łączących te węzły z
węzłem k. Iloczynów tych jest tyle, ile węzłów sąsiaduje z danym
węzłem k, dla którego układa się równanie. Po prawej stronie wzoru
występuje suma iloczynów napięć źródłowych zespolonych zbiegających
się w danym węźle i admitancji zespolonych tych gałęzi. Iloczyny te
wstawia się ze znakiem dodatnim, jeżeli napięcia źródłowe mają zwrot
do węzła lub ze znakiem ujemnym, gdy ich zwrot jest przeciwny.
Tok obliczeń prądów gałęziowych jest następujący:
1.
Strzałkuje się dowolnie prądy we wszystkich gałęziach obwodu.
2.
Strzałkuje się napięcia (przeciwnie do strzałki prądu) na
wszystkich elementach rezystancyjnych i reaktancyjnych obwodu.
3.
Oznacza się potencjały węzłów, przyjmując potencjał jednego
dowolnego węzła równy zeru (węzeł odniesienia).
4.
Układa się równania węzłowe według wzoru dla (w-1) węzłów obwodu,
opuszczając węzeł odniesienia.
5.
Rozwiązuje się powyższy układ równań ze względu na potencjały
węzłowe.
6.
Oblicza się napięcia występujące na poszczególnych gałęziach
wzorem Ukl=Vk-Vl.
7.
Prądy gałęziowe wyznacza się z prawa koła napięć lub z pierwszego
prawa Ohma.
Jeżeli dany obwód rozgałęziony, oprócz źródeł napięciowych, zawiera
źródła prądowe, wtedy przy układaniu równań po prawej stronie wzoru
zamiast iloczynu EkYk wstawia się odpowiedni prąd źródłowy Izk ze
znakiem dodatnim, gdy jego zwrot jest do węzła, lub ze znakiem
ujemnym, gdy zwrot jest przeciwny. Wynika to stąd, że iloczyny EkYk
przedstawiają prądy źródłowe zastępczych źródeł prądowych,
równoważnych odpowiednim źródłom napięciowym.
Metodę potencjałów węzłowych stosuje się w przypadkach, gdy liczba
węzłów obwodu jest mniejsza od liczby oczek, zwłaszcza gdy obwód
zawiera dużo źródeł prądowych.
Metoda superopzycji
===================
Zasadę superpozycji można ogólnie sformułować w następujący sposób:
Odpowiedź układu fizycznego liniowego na kilka wymuszeń równa się
sumie odpowiedzi na każde wymuszenie z osobna.
W odniesieniu do prądów w obwodach elektrycznych liniowych zasada
superpozycji ma definicję:
Prąd w dowolnej gałęzi obwodu elektrycznego liniowego, równa się sumie
algebraicznej prądów wywołanych w tej gałęzi w wyniku działania każdej
SEM z osobna.
Metoda obliczania rozpływu prądów w obwodach rozgałęzionych oparta na
zasadzie superopzycji nazywa się metodą superpozycji.
Tok obliczeń prądów metodą superpozycji jest następujący:
1.
Strzałkuje się dowolnie prądy we wszystkich gałęziach obwodu.
2.
Zakłada się, że w obwodzie działa tylko jedna SEM, a pozostałe SEM
wynoszą zero (źródła napięciowe są zwarte), przy czym ich
rezystancje wewnętrzne pozostają i oblicza się dowolną metodą
prądy J'1, J'2, …,J'n we wszystkich n gałęziach.
Z kolei zakłada się, że działa tylko druga SEM, a pozostałe wynoszą
zero z pozostawieniem ich rezystancji wewnętrznych i oblicza się prądy
J''1, J''2, …,J''n we wszystkich gałęziach.
W ten sposób postępuje się kolejno, aż do wyczerpania wszystkich k SEM
występujących w obwodzie.
3.
Jeżeli dany obwód zawiera również źródła prądowe, wtedy odłącza
się je kolejno z pozostawieniem ich rezystancji wewnętrznych i
oblicza się rozpływ prądów we wszystkich gałęziach.
4.
Prądy gałęziowe obwodu wyjściowego otrzymuje się jako sumę
algebraiczną wszystkich prądów składowych

przy czym n oznacza liczbę gałęzi, k - liczbę źródeł (napięciowych i
prądowych) występujących w obwodzie.
Zasadę superpozycji można stosować również w odniesieniu do napięć,
ponieważ napięcie U na elemencie R obwodu elektrycznego jest równe
sumie algebraicznej napięć dla każdej składowej prądu.
Należy zauważyć, że metodą superopzycji nie można obliczać mocy
wydzielanej w rezystancji, jako sumy mocy pochodzących od
poszczególnych prądów składowych, ponieważ moc jest funkcją kwadratową
prądu, względnie napięcia.
Twierdzenie Thevenina
=====================
Dowolny dwójnik aktywny liniowy o wymuszeniach sinusoidalnych można
zastąpić obwodem równoważnym złożonym z idealnego źródła napięcia o
wartości skutecznej zespolonej napięcia źródłowego E połączonego
szeregowo z impedancją zespoloną Zz, przy czym E oznacza napięcie
występujące na zaciskach dwójnika w stanie jałowym, a Zz oznacza
impedancję zastępczą mierzoną na zaciskach dwójnika w stanie jałowym
przy zwartych wszystkich napięciach źródłowych dwójnika i przerwanych
źródłach prądowych.
Zgodnie z twierdzeniem Thevenina dwójnik ten można zastąpić obwodem
szeregowym, w którym szukany prąd I określony jest wzorem

Twierdzenie Nortona
===================
Dowolny dwójnik aktywny liniowy o wymuszeniach sinusoidalnych można
zastąpić obwodem równoważnym złożonym z idealnego źródła prądu o
wartości skutecznej zespolonej prądu źródłowego JZ połączonego
równolegle z impedancją zespoloną ZZ, przy czym JZ oznacza prąd
zwarcia IZ na zaciskach dwójnika, a ZZ oznacza impedancję zastępczą
mierzoną na zaciskach dwójnika w stanie jałowym przy zwartych
wszystkich źródłach napięciowych dwójnika i przerwanych źródłach
prądowych.
Zgodnie z twierdzeniem Nortona dwójnik ten można zastąpić obwodem
równoległym, w którym przez odbiornik energii płynie ten sam prąd I, a
na jego zaciskach występuje to samo napięcie U, określone wzorem

natomiast szukany prąd wynosi

Pozbywanie się sprzężeń magnetycznych
=====================================
Sprzężenie magnetyczne polega na takim usytuowaniu dwóch obwodów lub
ich cewek względem siebie, że przy zasilaniu jednego obwodu prądem
przemiennym, część strumienia magnetycznego wytworzonego w tym
obwodzie przenika do obwodu drugiego i wywołuje w nim dzięki indukcji
wzajemnej M dodatkową siłę elektromotoryczną decydującą o
przekazywaniu energii z pierwszego obwodu do drugiego.
Przy połączeniu szeregowym rzeczywistych cewek o współczynniku
samoidnukcji L1 i L2 oraz rezystancjach R1 i R2, sprzężonych ze sobą
magnetycznie i posiadających współczynnik indukcji wzajemnej M
otrzymujemy:
a.
Przy połączeniu o zgodnym magnesowaniu

Napięcia na tych cewkach wynoszą:

Wobec tego napięcie wypadkowe i impedancja zastępcza wynoszą:

b.
Przy połączeniu o niezgodnym magnesowaniu

Napięcia na poszczególnych cewkach wynoszą:

Wobec tego napięcie wypadkowe i impedancja zastępcza:

Przy połączeniu równoległym rzeczywistych cewek zasilanych napięciem
sinusoidalnym o napięciu skutecznym U, zakładając że
otrzymujemy:
a.
Przy połączeniu o zgodnym magnesowaniu


Rozwiązując układ równań otrzymujemy:

b.
Przy połączeniu o niezgodnym magnesowaniu


Rozwiązując układ równań otrzymujemy:

Analizę obwodów elektrycznych można uprościć, jeżeli część obwodu
zawierającego sprzężone magnetyczne zastąpimy układem równoważnym bez
sprzężeń magnetycznych.
Rozpatrując przypadek, gdy gałęzie zawierające elementy sprzężone
magnetycznie zbiegają się w jednym wspólnym węźle otrzymujemy:
a.
W przypadku gdy dwa elementy sprzężone magnetycznie mają jednakowo
usytuowane zaciski jednoimienne względem węzła (zgodne
magnesowanie):

Dla tego układu można napisać równania

Podstawiając i otrzymujemy:

b.
W przypadku gdy dwa elementy sprzężone magnetycznie mają
przeciwnie usytuowane zaciski jednoimienne względem węzła
(niezgodne magnesowanie):

Dla tego układu można napisać równania

Podstawiając i otrzymujemy:

Określenie strat mocy
=====================
W obwodach elektrycznych o przebiegach sinusoidalnych napięć i prądów
rozróżniamy trzy rodzaje mocy, które można zmierzyć, tj. moc czynną,
bierną i pozorną.
Dla funkcji okresowych wprowadzamy pojęcie wartości średniej funkcji
mocy na jeden okres

Moc czynną P nazywamy wartość średnią funkcji mocy. Wyraża się ona
iloczynem wartości skutecznych napięcia i natężenia prądu oraz
cosinusa kąta przesunięcia fazowego między napięciem a prądem.
Jednostką mocy czynnej jest Wat.

Moc czynną można także określić wzorem

Moc bierna Q jest zdefiniowana jako iloczyn skutecznych wartości
napięcia i natężenia prądu oraz sinusa kąta przesunięcia fazowego
między nimi. Jednostką mocy biernej jest var.

Moc bierną można także określić wzorem

gdzie X określa reaktancję odbiornika.
Moc pozorna S definiujemy jako iloczyn skutecznych wartości napięcia i
natężenia prądu. Jednostką mocy pozornej jest woltoamper.

W szczególnych przypadkach otrzymujemy:
a.
jeżeli odbiornik ma charakter rezystancyjny pobiera maksymalną moc
czynną, natomiast nie pobiera mocy biernej,
b.
jeżeli odbiornik ma charakter reaktancyjny to nie pobiera mocy
czynnej, pobiera natomiast maksymalną moc bierną,
c.
jeżeli odbiornik ma charakter reaktancji indukcyjnej to moc bierna
jest dodatnia, a jeśli ma charakter pojemnościowy - moc bierna
jest ujemna.