el arte de dividir en partes iguales por manuel morán 1. ¿ puedes dividir las figuras de abajo en dos partes iguales?. o

El arte de dividir en partes iguales
Por Manuel Morán
1.
¿ Puedes dividir las figuras de abajo en dos partes iguales?.
Observa la solución indicada para la figura 6.

2.
Las funciones continuas tienen la propiedad de que su gráfico
puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
a.
¿Puede dibujarse el gráfico de una función continua de forma que
contenga los dos puntos indicados en la figura y no cruce el eje
de las x?
b. Supón que una función continua cuyo gráfico pasa por los puntos
indicados en la figura corta al eje x. ¿Cuánto vale la función en el
punto de corte?
c.
R
azona si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: Una función
continua que cambia de signo en los extremos de un intervalo [a,b]
debe anularse en algún punto c del intervalo
3.
El teorema de arriba tiene curiosas aplicaciones, como por
ejemplo, el célebre problema del monje:
El hermano Malaquías, sale a las ocho de la mañana e invierte todo el
día, hasta las ocho de la tarde, en ascender una colina mientras
recoge hierbas medicinales y aromáticas. No hay camino, de manera que
el recorrido por la ladera es caprichoso. Si el monje ve alguna mata
que le pasó inadvertida, puede retroceder o perder altura para
recogerla. A las ocho de la tarde ha llegado a la ermita que hay en la
cumbre, donde pasa la noche. Al día siguiente sale de la ermita a las
ocho de la mañana y baja, siguiendo otro camino igualmente caprichoso
y diferente al del día anterior. Cuando llega abajo, a las ocho de la
tarde, se encuentra al hermano Adelmo y le dice: “Ayer subí por un
camino totalmente diferente del que hoy he usado para bajar”. Pero el
hermano Adelmo, que es muy agudo y aficionado a las matemáticas
contesta: “No tan diferente, ya que a cierta hora del día de hoy
estabas a la misma altura que a la misma hora de ayer”.
¿Está el hermano Adelmo en lo correcto?. ¿Se mantiene la conclusión si
Malaquías completa el descenso antes de las ocho de la tarde?.
4.
Usando el resultado del problema 2 trata de probar que si se tiene
una figura como la A y una recta como la l siempre es posible
encontrar una recta paralela a l y que parte A en dos trozos con
las misma superficie. Observa que ahora no se pide que los dos
trozos tengan la misma forma, como ocurría en el problema 1.
S
ugerencia: Considera la diferencia D(l)= A_ (l) – A+ (l) entre la
superficie A_ (l) que queda por debajo de l y la que superfice A+(l)
que queda por encima. Cuando l se desplaza paralelamente a sí misma de
arriba abajo barriendo completamente la figura A, D(l) varía de forma
continua. Trata de aplicar ahora el resultado del problema 2 a la
función D(l). ¿A qué conclusión llegas?.
5.
Supón que tenemos, en lugar de una, dos figuras A y B. Ahora no
podemos afirmar que dada cualquier dirección r exista una paralela
a r que parta al mismo tiempo cada una de las dos figuras en dos
partes iguales. Pero ¿es cierto que existe al menos una recta que
sí lo hace?

6.
¿Es cierto que, dada una figura A, existen dos rectas
perpendiculares que la dividen en cuatro partes iguales?
Sugerencia: Toma dos rectas perpendiculares con la propiedad de que
cada una de ellas parten la figura A en trozos de igual superficie.
a.
¿Qué relación existe entre las cuatro partes P1, P2, P3 y P4?
b. Estudia la función D = P1-P2 cuando los ejes ortogonales giran 90
grados y saca conclusiones.

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