Prognozowanie I Symulacje Strona | 15 Ćwiczenie 2 Prognozowanie

prognozowanie i symulacje strona | 15 ćwiczenie 2. prognozowanie na podstawie analitycznych modeli trendu model trendu ma postać yt

Prognozowanie i symulacje Strona | 15
Ćwiczenie 2. Prognozowanie na podstawie analitycznych modeli trendu
Model trendu ma postać
Yt = f(t, t) dla t = 1, 2, …, n,
gdzie f jest funkcją analityczną.
Prognozowanie na podstawie liniowego modelu trendu
Liniowy model trendu ma postać:
t = 1, 2, ..., n . (1)
Parametry modelu (1) można oszacować metodą najmniejszych
kwadratów (MNK).
W metodzie tej wyznaczamy takie wielkości i
(oszacowania parametrów
i ) aby różnice pomiędzy wartościami teoretycznymi
wyznaczonymi ze wzoru
= , t = 1, 2, ..., n (2)
a rzeczywistymi wartościami zmiennej objaśnianej Yt z bazy danych
statystycznych były minimalne.
Budujemy w tym celu funkcję
G( , )=
i poszukujemy jej minimum.
Wartości et = nazywamy resztami modelu.
Przyjmijmy oznaczenia:
y = , X = , .
Równanie regresji liniowej (1) możemy zapisać w postaci:
y = X α + ε .
Wektor znaleziony metodą najmniejszych kwadratów ma postać
=(XTX)-1XTy
i nazywamy go MNK estymatorem wektora α parametrów liniowego modelu
trendu (1).
Przykład 1. Sprzedaż zrazów w sosie myśliwskim w barze Pod Jelonkiem w
kolejnych tygodniach przedstawiono w tabeli zapisanej w arkuszu Excel.

Postawić prognozę wielkości sprzedaży na następne dwa tygodnie.

Na podstawie wykresu możemy stwierdzić, ze sprzedaż zrazów w sosie
myśliwskim wykazuje tendencję rosnącą (trend rosnący).
Dodatkowo na wykresie możemy zamieścić linię trendu. Aby ją uzyskać
prawym klawiszem myszy klikamy w jeden z puktów wykresu. Otwiera się
wtedy okno dialogowe.

Wybieramy opcję Dodaj linię trendu otworzy się wtedy okno Formatowanie
linii trendu
w arkuszu Excel 2007 ma ono postać

We wcześniejszych wersjach Excela postać:

Po wybraniu odpowiedniej funkcji trendu (w naszym przykładzie
liniowej) otrzymamy wykres z liniową funkcją trendu.

Na podstawie sporządzonego wykresu możemy stwierdzić, że sprzedaż
zrazów w barze Pod Jelonkiem cieszy się coraz większym powodzeniem,
wykazuje trend rosnący zbliżony do liniowego.
Metodą najmniejszych kwadratów oszacujemy parametry i
modelu liniowego trendu (1). Metodę najmniejszych kwadratów realizuje
w arkuszu kalkulacyjnym Excel funkcja statystyczna REGLINP. Ponieważ
jest to funkcja tablicowa musimy zarezerwować na wyliczone parametry
obszar trzy wiersze i dwie kolumny, następnie wybrać funkcje REGLINP.

Po akceptacji przyciskiem OK. otrzymamy okno funkcji w postaci

Kolejno wprowadzamy:
jako Znane_y - adresy kolumny z wartościami y (naszym przykładzie
B2:B13),
jako Znane_x - adresy kolumn z wartościami zmiennej czasowej t (w
naszym przykładzie A2:A13),
jako Stała - wartość 1,
jako Statystyka – wartość 1.

Następnie naciskamy klawisze Ctrl Shift Enter.
Wynikiem naszych działań będzie tablica w postaci:

Możemy teraz wyznaczyć wartości teoretyczne (prognozy wygasłe) na
podstawie teoretycznego modelu trendu
= , t = 1, 2, ..., n. (3)


Do oceny liniowego modelu trendu używamy:
- współczynnika determinacji (jego wartość znajduje się jako pierwszy
element w trzeciej linijce)
, (4)
- odchylenia standardowego reszt (jego wartość znajduje się jako drugi
element w trzeciej linijce)
(5)
gdzie :
n to liczba obserwacji w bazie danych statystycznych (w naszym
przykładzie n = 12),
k to liczba szacowanych parametrów (w naszym przykładzie k = 2 gdyż
mamy dwa szacowane parametry)
Interpretacja współczynnika determinacji R2 = 0,96:
„ Zbudowany model teoretyczny liniowego trendu w 96% wyjaśnia
zmienność zmiennej objaśnianej Y.”
Interpretacja odchylenia standardowego reszt Se = 1,154:
„Wartości teoretyczne (prognozy wygasłe) sprzedaży zrazów w barze Pod
jelonkiem wyznaczone z modelu (3) średnio różnią się od rzeczywistych
wartości sprzedaży z bazy danych statystycznych 1,154 sztuki.”
Test istotności współczynnika korelacji wielorakiej R.
Współczynnik korelacji wielorakiej wyznacza się ze wzoru .
Ho : = 0,
H1 : .
Do weryfikacji hipotezy Ho służy statystyka:
(9)
Jeśli spełniona jest nierówność
F
gdzie:
n to liczba obserwacji w bazie danych statystycznych ( w naszym
przykładzie n = 12),
k to liczba zmiennych szacowanych parametrów modelu (w naszym
przykładzie k = 2),
to poziom istotności testu,
to wartość krytyczna rozkładu F Snedecora z m1 = k-1
oraz m2 = n- k stopniami swobody,
to nie ma podstaw do odrzucenia weryfikowanej hipotezy Ho . Oznacza
to, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 o braku zależności
liniowej. Obliczymy teraz wartość statystyki (9)
240.
Przyjmijmy poziom istotności testu =0,05. Wartość krytyczną
wyznaczymy korzystając z funkcji statystycznej ROZKŁAD.F.ODW.
Wybieramy funkcję ROZKŁAD.F.ODW i akceptujemy wybór OK.

W tabelce Argumenty funkcji wpisujemy kolejno:
- Prawdopodobieństwo wpisujemy poziom istotności testu (w naszym
przykładzie
= 0,05) ,
- Stopnie_swobody1 wpisujemy wartość m1 = k – 1 ( w naszym przykładzie
1),
- Stopnie_swobody1 wpisujemy wartość m2= n – k (w naszym przykładzie
10).
Po zaakceptowaniu zapisanych argumentów funkcji - OK, jako wynik
otrzymujemy =4,9646. Spełniona jest nierówność
F >
Zatem hipotezę H0 odrzucamy i jako prawdziwą przyjmujemy hipotezę H1.
Oznacza to, że współczynnik korelacji wielorakiej (a zatem też i
współczynnik determinacji) jest statystycznie istotny. Wynika stad, ze
zbudowany model teoretyczny w wystarczającym stopniu wyjaśnia
zmienność sprzedaży zrazów w barze Pod Jelonkiem.
Dla zbadania czy liniowa postać modelu została poprawnie dobrana
przeprowadza się test istotności parametru .
W drugiej linijce tabeli REGLINP znajdują się błędy oszacowań
parametrów:
Sa0 =0,7104,
Sa1 =0,0965.
Test istotności parametru strukturalnego
Zapiszmy hipotezy:
Ho : = 0,
H1 : 0.
Do weryfikacji hipotezy H0 używa się statystyki
. (10)
Jeśli spełniona jest nierówność:
,
gdzie jest wartością krytyczną rozkładu t - Studenta dla
prawdopodobieństwa oraz m= n – k stopni swobody
to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy Ho.
Obliczmy wartość statystyki 14,634.
Wartość krytyczną wyznaczymy za pomocą funkcji statystycznej
ROZKŁAD.T.ODW. 1

Po wybraniu funkcji ROZKŁAD.T.ODW akceptujemy wybór OK i otrzymujemy
okienko argumentów funkcji.

W polach:
- Prawdopodobieństwo wpisujemy poziom istotności testu (w naszym
przykładzie
= 0,05) ,
- Stopnie_swobody wpisujemy wartość m= n – k (w naszym przykładzie
10).
Wynik formuły to =2,228.
Ponieważ spełniona jest nierówność
>
odrzucamy hipotezę Ho i jako prawdziwą przyjmujemy H1. Oznacza to, że
parametr jest statystycznie istotny, a więc model trendu
liniowego został poprawnie dobrany.
Wyznaczymy teraz wartość współczynnika zmienności resztowej ze wzoru
.
Mamy = 30,33 a stąd
= = 2,96%.
Oznacza to, że odchylenie standardowe reszt stanowi około 3% średniej
tygodniowej sprzedaży zrazów w barze Pod Jelonkiem. Oznacza to, że
odchylenie standardowe reszt jest niewielkie.
Po przeprowadzonym badaniu możemy przyjąć, że zbudowany teoretyczny
model trendu liniowego, który zapisujemy w postaci:
= , t = 1, 2, ..., n.
(0,71042) (0,09653)
może zostać użyty do prognozowania.
Wyznaczymy więc prognozy na tydzień T = 13 oraz T = 14,
=
=
Odpowiedź. Prognoza na 13 tydzień to 40 zrazów, na 14 tydzień to 41
zrazów. W modelu liniowym trendu dodatkowo można zbadać dopuszczalność
wyznaczonych prognoz za pomocą błędu ex ante.
Błąd ex ante prognozy na okres T > n wyznaczonej za pomocą liniowego
modelu trendu wyznaczamy za pomocą wzoru:
, gdzie .


Mamy V13* = 1,355396,
V14* = 1,402691.
Obliczmy wartości:


Możemy więc stwierdzić, że błąd ex ante stanowi około 3,39% prognozy
na T = 13 tydzień, natomiast 3,42% procent prognozy na T = 14 tydzień.
Jak widać błędy ex ante w obu przypadkach są niewielkie i wyznaczone
prognozy można uznać za dopuszczalne.