Corso Di Fisica Tecnica – Aa 2010/2011 Docente

corso di fisica tecnica – a.a. 2010/2011 - docente: prof. carlo isetti capitolo 10 =========== conduzione e convezione ==========

Corso di Fisica Tecnica – a.a. 2010/2011 - Docente: Prof. Carlo Isetti
CAPITOLO 10
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CONDUZIONE E CONVEZIONE
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10.1 GENERALITÀ
Come ben noto, quando tra due corpi o tra porzioni di questi vi siano
differenze di temperatura, si verificano spontaneamente processi di
trasmissione di calore verso il corpo, o porzioni, a temperatura
inferiore. Processi di trasmissione in senso inverso non possono
essere spontanei, in accordo col secondo principio della
termodinamica.
Lo studio dettagliato delle modalità di trasferimento del calore è di
enorme interesse pratico in molti settori tecnici ed è necessario per
poter correttamente valutare i flussi termici trasmessi attraverso
l’involucro di un edificio.
Alcuni meccanismi di trasmissione del calore, come nel caso della
conduzione o della convezione, richiedono un diretto contatto fisico
tra i sistemi interessati, mentre nel caso dell’irraggiamento il
trasferimento del calore può verificarsi anche attraverso il vuoto
assoluto.
La conduzione termica che, da un punto di vista macroscopico, si
manifesta come scambio di calore all'interno di corpi solidi, liquidi,
gassosi, senza movimento apparente di materia, è dovuta alla cessione
di energia cinetica da parte di atomi/molecole presenti in una zona a
più alta temperatura verso altri atomi/molecole in zone adiacenti a
più bassa temperatura. Nel caso della convezione termica il trasporto
di calore tra la superficie di un corpo e un fluido coinvolge un
movimento macroscopico di elementi di fluido. Si supponga, ad esempio,
il caso di un corpo la cui temperatura superficiale sia superiore a
quella del fluido circostante. Lo scambio termico convettivo avviene
in diversi stadi: dapprima il calore passa per conduzione dalla
superficie ad elementi di fluido adiacenti aumentando la loro
temperatura. Gli elementi di fluido riscaldatisi si muovono, poi,
verso porzioni di fluido a temperatura minore ove si mescolano cedendo
parte della loro energia.
La convezione si distingue in convezione libera e convezione forzata,
secondo la causa che determina il moto. Quando il moto dipende
unicamente da differenze di densità innescate da differenze di
temperatura, si parla di convezione naturale o libera; quando il moto
è indotto da qualche agente esterno, una pompa o un ventilatore, il
processo è chiamato convezione forzata.
Nel caso dell’irraggiamento, infine, si ha scambio termico anche se i
corpi interessati non sono a contatto e cioè anche se tra essi vi sia
vuoto assoluto o anche un mezzo trasparente come l’aria. Tutti i corpi
emettono continuamente energia termica per irraggiamento e l'intensità
dell'emissione dipende dalla temperatura e dalla natura della
superficie. L'energia raggiante si propaga alla velocità della luce (c
= 3 108 [m/s]) e presenta una fenomenologia simile a quella delle
radiazioni luminose; infatti, secondo la teoria elettromagnetica, la
luce e l'irraggiamento termico differiscono solo per le loro lunghezze
d'onda. Lo scambio termico per irraggiamento diventa meccanismo
predominante al crescere della temperatura tra i corpi.
In generale, nella realtà quasi sempre la trasmissione del calore si
dimostra fenomeno complesso anche perché quasi sempre si ha a che fare
con tutti e tre i meccanismi accennati spesso operanti
contemporaneamente. Pertanto, prima di affrontare un qualunque
problema di trasmissione del calore è sempre importante individuare
correttamente i diversi meccanismi implicati. Oltre a ciò, ogni
processo di trasmissione del calore può attuarsi in regime:
*
stazionario: la temperatura di un qualunque punto del sistema non
cambia nel tempo;
*
variabile: la temperatura di un qualunque punto del sistema è
funzione del tempo.
10.1.1 Conduzione termica unidirezionale stazionaria
Si consideri la conduzione del calore lungo una barra di materiale
omogeneo (sezione A e lunghezza L). Le facce opposte della barra
(sezioni 1 e 2 in figura) siano mantenute a temperature t1 e t2 e sia
t1 > t2.

La superficie laterale della barra sia rivestita da un isolante
termico per evitare dispersioni laterali di calore. La conduzione del
calore si verifica lungo l’asse della barra (direzione x) verso la
sezione 2. In condizioni di regime stazionario, la quantità di calore
dQ trasmessa nell’intervallo di tempo d è:

ove:  rappresenta una costante caratteristica del materiale
costituente la barra, detta conducibilità termica [W/mK]; essa esprime
la maggiore o minore attitudine di un materiale omogeneo a trasmettere
calore per conduzione termica.
La relazione può essere riscritta come:

per cui se si definisce flusso termico x l'energia trasmessa per
unità di tempo lungo la barra (direzione x); risulta:
x = dQ / d [J/s] [W]
Il flusso termico per unità di area o flusso termico specifico 'x è:
[W/m2]
Quanto osservato può essere espresso nella forma differenziale (legge
di Fourier per conduzione monodimensionale):
[W/m2]
In regime stazionario infatti, è anche attraverso ogni sezione della
barra:
'x = cost
e quindi, separando le variabili ed integrando tra le sezioni 1 e 2,
si ottiene immediatamente:
'x (x2 - x1 ) = - (t2 - t1)
e ciò in accordo con quanto in precedenza osservato:
[W/m2]
In questo caso (conduzione unidimensionale stazionaria) la temperatura
risulta solo funzione di x e cioè: t = f(x).
Osservazioni
*
nella relazione di Fourier si introduce il segno – in accordo con
la convenzione che considera positivo il flusso termico diretto
verso ascisse x crescenti. Infatti, essendo dt/dx < 0 (dt < 0 e dx
> 0) per avere affinché 'x > 0 occorre cambiare segno
all’espressione;
*
il flusso termico è una grandezza vettoriale (caratterizzata da
intensità, direzione, verso) e come tale esprimibile mediante:

ove: rappresenta il versore (vettore unitario nella direzione
x).
Il rapporto dt/dx è il modulo del vettore normale ad un piano
isotermo. Tale rapporto è detto gradiente di temperatura nella
direzione x (rappresenta la pendenza locale della distribuzione di
temperatura t = t(x).
10.1.2 Conduzione pluridirezionale stazionaria
Nel caso più generale di un processo di conduzione stazionaria
all'interno di un corpo omogeneo, la temperatura risulta funzione
anche delle variabili y e z e cioè t = f(x,y,z) e le superfici
isoterme non sono più piani ma superfici curve nello spazio.
Si prenda in esame ora, come rappresentato in figura, una generica
superficie isoterma (temperatura t) all'interno di un solido omogeneo
interessata ad un processo di conduzione e su questa si individui
un'area dA, centrata attorno ad un punto P.
In figura è anche rappresentata la superficie isoterma t + dt. La
distanza tra le due isoterme sia dn. Il flusso termico nel punto P è
perpendicolare alla superficie isoterma dA. In accordo con la
relazione di Fourier, nel punto P il modulo del flusso termico
specifico attraverso è:
[W/m2]

Quando la temperatura è una funzione del tipo t = f(x,y,z), il flusso
termico non risulta più solo diretto verso una particolare direzione
dello spazio (ad esempio x), ma sarà caratterizzato da componenti x,
y, z risultando, in ogni punto, sempre perpendicolare alla
superficie isoterma t = f(x,y,z).
La legge di Fourier in forma vettoriale può esprimersi nel modo
seguente:

Tracciando le normali alle superfici isoterme, si possono evidenziare,
come rappresentato in figura, le cosiddette linee di flusso che
rappresentano la direzione ed il senso del flusso termico attraverso
le superfici isoterme. L'insieme di queste linee di flusso consente
d’individuare nello spazio un elemento di volume, attraverso la
superficie laterale del quale non si ha propagazione di calore.
Tale superficie può essere considerata come la parete laterale di un
condotto in cui fluisca non un fluido ma dell'energia termica. In
questo “tubo di flusso”, la portata di energia termica, o flusso
termico che transita in condizioni di regime stazionario, è costante.

La conduzione risulta d’importanza rilevante nei solidi; al contrario
è trascurabile nei fluidi e in particolare modo negli aeriformi molto
rarefatti.
In generale, si osserva che la conducibilità, a rigori, risulta
significativa solo nel caso di materiali omogenei ed isotropi e
variabile con la temperatura. Tuttavia, nella maggioranza dei casi che
interessano la tecnica, risulta quasi sempre approssimazione
sufficiente considerare i materiali omogenei ed isotropi ed inoltre
trascurare la dipendenza dalla temperatura assumendo  = cost.
In genere si definiscono “isolanti” i materiali la cui conducibilità
termica sia   0.12 [W/mK]. È opportuno ancora osservare come la
conducibilità di molti materiali da costruzione dipenda dalla loro
densità e dal contenuto di umidità.
Nella seguente tabella sono riportati valori indicativi di
conducibilità termica a 20 [°C] per alcuni comuni materiali da
costruzione.
MATERIALE
DENSITA'
 [kg/m3]
CONDUCIBILITA'
W/mK]
Acciaio
7860
45
Calcestruzzo
1600 - 2400
1.5
Calcestruzzo cellulare
800
0.3
Pannelli fibra di vetro
15 - 110
0.035
Laterizi
1800
0.9
Legno (abete)
450
0.12
Polistirolo
25
0.035
3.
Conduzione stazionaria in parete piana
Si consideri uno strato piano di materiale omogeneo attraverso il
quale si verifichi, in condizioni di regime stazionario, propagazione
di calore per conduzione nella direzione x come rappresentato in
figura. In queste condizioni, come già osservato, la temperatura di
qualunque superficie isoterma risulta costante nel tempo essendo t =
f(x).

Dalla relazione di Fourier:

si ha:
'x dx = - dt
Integrando tra x1 e x2 e tra t1 e t2 (vedi figura), si ha:

cosicché si ottiene:
'x (x2 - x1 ) = -  (t2 - t1 )
da cui:

La temperatura tx all'ascissa generica x può essere a sua volta
espressa in funzione del flusso termico il quale, si noti, è costante
attraverso ogni generica sezione x tra x1 e x2 . Pertanto, integrando
tra i limiti x1 e x e tra t1 e tx, si ottiene:
'x (x - x1 ) = -  (tx - t1 )
se x1 = 0
'x x = -  (tx - t1 )
da cui, eguagliando le due espressioni del flusso, si ottiene:

ricavando t si può scrivere:

In regime stazionario all'interno di uno strato piano la temperatura
varia con andamento lineare. Ovviamente ciò si accorda con la legge di
Fourier in forma differenziale: infatti, se 'x = cost., ne consegue
che anche dt/dx = cost. e cioè che t dipende linearmente da x.
10.1.4 Cenni sul regime variabile
Come precedentemente accennato, la temperatura all'interno di un corpo
soggetto ad un processo di conduzione termica in regime variabile
dipende dal tempo, oltre che dalla posizione considerata, e cioè la
temperatura è una funzione del tipo:
t = f(x,y,z,).
È opportuno, quindi, accennare a fenomeni di conduzione non a regime,
per introdurre un'equazione di validità più generale (Equazione
generalizzata di Fourier).
Si supponga di considerare, per semplicità, un processo di conduzione
del calore nella sola direzione x (conduzione unidimensionale o
unidirezionale). In questo caso, evidentemente, la temperatura
risulterà funzione di due sole variabili, e cioè del tipo t = f(x,).
Si consideri un elemento di volume dV = dx dy dz posizionato
all'interno di un solido omogeneo, come rappresentato in figura.

Si ipotizzi che l’elemento non vari apprezzabilmente il suo volume dV
in conseguenza a variazioni di temperatura. In conseguenza delle
ipotesi fatte, l'elemento di volume suddetto può essere interessato a
scambi di calore solo attraverso le due facce opposte del cubo (area
dA = dy dz) poste all'ascissa x e x + dx.
L'equazione generalizzata di Fourier per conduzione unidimensionale
può ottenersi sulla base di un bilancio termico.
All'istante generico risulta:
dQx = quantità di calore entrante nell'elemento all'ascissa x
dQx+dx = quantità di calore uscente dall'elemento all'ascissa (x+dx)
dU = variazione di energia interna dell'elemento
Il I Principio della Termodinamica, nel caso sia dL = 0, fornisce:
dQx -dQx+dx = dU
Alla variazione di energia interna dU [J] dell'elemento di volume
(massa dm = dV) è associata una variazione di temperatura che può
essere espressa in relazione al calore specifico c del mezzo:
dU = c dm dt = c  dV dt
Sostituendo nell'equazione di bilancio dQx -dQx+dx = dU, si ottiene,
dopo alcuni passaggi, la seguente equazione :

Il rapporto a primo membro caratterizza il comportamento a regime
variabile del mezzo ed è detto diffusività termica a:
a = c [m2/s]
Nel caso più generale t = t(x,y,z,, con analogo procedimento, si
ottiene la seguente relazione (Equazione generalizzata di Fourier):

ove il simbolo sintetizza l’operazione da compiersi sulla
funzione t = f(x,y,z,) ed è detto operatore di Laplace .
L'equazione generalizzata di Fourier presenta grande interesse teorico
e pratico nell'edilizia, ad esempio per studiare la trasmissione del
calore a regime variabile attraverso le pareti degli edifici.
Ovviamente, nel caso di conduzione stazionario, l’equazione
generalizzata si riduce a quanto prima già vista, ad esempio per
conduzione monodimensionale stazionaria risulta subito:

E, quindi, si ottiene:

L'integrale generale di questa equazione differenziale è la funzione t
= Ax + B.
Infatti risulta:
*
prima integrazione: dt/dx = A (A = cost.)
*
seconda integrazione: t = Ax + B
In riferimento a quanto prima considerato (conduzione stazionaria in
uno stato piano), è possibile immediatamente determinare i valori
delle costanti A e B per ottenere l’integrale particolare che fornisce
la distribuzione di temperatura nello strato piano. La funzione t = A
x + B deve, infatti, valere:
t = t1 per x = 0
t = t2 per x = L
e, quindi, deve essere: B = t1 e A = (t2 - t1) / L.
Sostituendo si ottiene:
Come si può osservare si ritrova quanto precedentemente ottenuto, e
cioè la temperatura varia linearmente con lo spessore dello strato.
In punti particolari dell'involucro edilizio, quali spigoli, nodi
strutturali, pilastri, ecc., il fenomeno della conduzione non sarà più
monodimensionale, ma, ad esempio, bidimensionale come rappresentato
nelle seguenti figure.


Nel caso più generale (regime variabile) risulterà t = f(x,y,) mentre
a regime stazionario sarà t = f(x,y). Questi punti dell'involucro
edilizio, ove si ha un addensamento delle linee di flusso termico,
costituiscono cammini facilitati per la propagazione del calore
rispetto alle pareti circostanti, per cui vengono generalmente detti
ponti termici.
È opportuno discutere brevemente il significato fisico della grandezza
diffusività termica che, come si è già visto, caratterizza il
comportamento di un materiale in regime variabile.
Il prodotto c ha dimensioni fisiche [J/m3K] e quindi il significato
di un calore specifico volumetrico (per unità di volume).
Poiché la conducibilità  rappresenta la proprietà del mezzo di
trasmettere calore, la diffusività termica a ha il significato di un
rapporto tra le proprietà del mezzo di trasmettere e di accumulare
calore.

Si può dire che, quando la diffusività termica del mezzo è elevata,
una perturbazione termica viene poco ridotta in ampiezza (si dice che
è poco smorzata), e risulta quindi avvertibile anche a una notevole
distanza dalla superficie.
In generale, la diffusività termica risulta influenzata soprattutto
dalla densità del materiale; si osservi infatti che per i materiali
normalmente utilizzati in edilizia, la conducibilità  risulta
indicativamente compresa tra 0.05 e 2.5 [W/mK] (varia cioè di due
ordini di grandezza), mentre la corrispondente densità  varia tra
circa 10 e 2500 [kg/m3] (circa tre ordini di grandezza), essendo il
calore specifico c quasi costante per tutti i materiali. S’intuisce,
quindi, come la diffusività termica dei materiali impiegati nelle
strutture edilizie assuma particolare importanza quando si debba
valutare l'influenza della variazione della temperatura esterna sugli
ambienti.
Questi importanti aspetti del comportamento termico degli edifici
possono essere evidentemente indagati in modo esauriente solo sulla
base dell'equazione generalizzata di Fourier.
Esercizi ed esempi
1) Sulle facce opposte di uno strato piano (L = 20 [cm]) viene
mantenuta la differenza di temperatura t = t1 - t2 = 7 [°C]. Si
valuti il flusso termico specifica 'x trasmesso nel caso che lo
strato sia in calcestruzzo (c = 1.90 [W/m K]) oppure in polistirolo (p
= 0.035 [W/m K]). Per uno strato piano in regime stazionario si ha:

Nei due casi si ha:

2) Una differenza di temperatura t = tp1 - tp2 è mantenuta sulle
facce opposte di una struttura bistrato (rispettivamente l1 (strato 1)
e l2 (strato 2)). Se è 1 > 2 quale sarà l’andamento qualitativo
della distribuzione di temperatura attraverso la struttura?.
Ovviamente, dovendo essere a regime :
'x1 = 'x2 = cost
l
a temperatura varierà con andamento lineare in ciascun strato. Infatti
dalla legge di Fourier consegue che:
Poiché 1 > 2 sarà anche:
e
cioè, come rappresentato in figura, la pendenza della distribuzione di
temperatura sarà minore nello strato 1 (tan 1 < tan 2).

3) Si valuti la diffusività termica a del calcestruzzo e del
polistirolo.
per il calcestruzzo:
per il polistirolo:
I valori ottenuti non sono molto diversi e quindi, in condizioni di
regime variabile, i due materiali si comporteranno in modo simile come
previsto dall’equazione generalizzata di Fourier (solo il valore della
diffusività termica a caratterizza il comportamento del mezzo).
10.2 CONVEZIONE
Come noto la convezione termica costituisce uno dei meccanismi
fondamentali di scambio di calore e si attua tra la superficie di un
corpo ed un fluido a diversa temperatura. La causa che provoca il moto
del fluido consente una prima distinzione. Si parla, infatti, di
convezione forzata quando il moto è indotto da dispositivi meccanici
quali, ad esempio, pompe, ventilatori, circolatori, agitatori, ecc.,
come rappresentato in figura .

Si parla invece di convezione naturale quando la velocità del fluido
dipende dalla variazione della sua densità provocata dai gradienti di
temperatura presenti nella massa fluida. La figura illustra il moto di
un fluido a contatto con una lastra più calda.

È opportuno osservare che la convezione naturale, contrariamente a
quanto avviene per la forzata, risulta dipendere dalla disposizione
della superficie scambiante calore rispetto al fluido; una
disposizione può, ad esempio, favorire od ostacolare il moto del
fluido, come si può immediatamente comprendere, almeno dal punto di
vista qualitativo, paragonando alcune diverse disposizioni di una
piastra riscaldata.
caso a)
caso b)

caso c)
*
Nel caso a) il moto dell'aria verso l'alto avviene senza
impedimenti su entrambi i lati della lastra.
*
Nel caso b) lo scambio termico verso il basso è ostacolato da una
stratificazione d’aria calda stazionante sotto la lastra.
*
Nel caso c), in cui si attua uno scambio termico verso l'alto, il
moto del fluido risulta possibile, anche se evidentemente si
verificheranno interferenze tra i moti ascensionali e quelli
discendenti.
Se si considera la convezione sia forzata che naturale, si può
osservare che lo strato a diretto contatto con la parete riceve da
essa energia termica (si supponga, ad esempio, la parete a temperatura
maggiore del fluido). Tale strato, a sua volta, cede l’energia termica
agli strati attigui più esterni. In definitiva la convezione, nel suo
complesso, si stabilisce mediante due meccanismi:
a) un meccanismo a livello molecolare di conduzione termica;
b) un meccanismo connesso al moto del fluido con mescolamento tra
elementi di fluido a diversa temperatura.
Poiché all’interfaccia fluido-parete (direzione y) opera un meccanismo
conduttivo, la potenza termica scambiata per convezione può essere
espressa mediante la seguente relazione:

Questa relazione è valida sia nel caso di regime laminare che
turbolento, perché è comunque sempre individuabile uno strato di
fluido fermo a contatto con la parete, attraverso il quale la
trasmissione del calore avviene per conduzione. Pertanto lo scambio
dipenderà senz’altro dalla conducibilità termica  del fluido.
Tuttavia appare evidente che esso sarà influenzato anche dalle
modalità di moto del fluido e cioè, quindi, anche dalle grandezze
fisiche e geometriche che concorrono a definirlo quali la densità, la
viscosità del fluido, le caratteristiche di forma delle pareti, ecc.
Viene usualmente adottata un'impostazione formale del problema che fa
riferimento alla cosiddetta Legge di Newton e cioè alla relazione:
c = A c (tp - tf) [W]
oppure
’c = c (tp - tf) [W/m2]
La relazione esprime proporzionalità tra il flusso termico scambiato,
la superficie di scambio A e la differenza tra la temperatura della
parete tp e quella del fluido lontano dalla stessa tf. La costante c
[W/m2 K] è detta coefficiente di convezione. Eguagliando le due
relazioni che esprimono il flusso si ottiene:

Questa espressione evidenzia che per determinare il valore locale di αc
è necessario conoscere la distribuzione di temperatura all’interno
dello strato di fluido, la qual cosa presenta sovente notevoli
difficoltà.
10.2.1 Convezione forzata
Per individuare le principale grandezze che interessano lo scambio
termico convettivo, è necessario prima analizzare il moto di un fluido
reale in prossimità di una superficie solida. Si consideri, ad
esempio, una lastra piana lambita da una corrente di fluido alla
stessa temperatura. Si supponga la corrente parallela alla superficie
della lastra.

Strato limite idrodinamico
Si osserva, quindi, che i fluidi viscosi hanno la tendenza ad aderire
alle pareti solide con cui vengono a contatto rendendo nulla,
all’interfaccia, la loro velocità. Pertanto, in prossimità di un corpo
solido lambito da un fluido si viene a determinare un rallentamento
progressivo degli strati di fluido rispetto alla corrente posta a
distanza maggiore.
Lo strato di spessore δv, sede di forti gradienti di velocità, è detto
strato limite idrodinamico. Al di fuori di questo, il campo di
velocità non risente dei fenomeni indotti dall'adesione del fluido
alla superficie e rimane quindi indisturbato.

Lo strato limite inizia al bordo di attacco A, si estende poi
progressivamente come riportato in figura, ed il suo spessore si
assume esteso fino alla distanza dalla superficie alla quale la
velocità w del fluido è il 99% della velocità della corrente
indisturbata w∞. Il numero di Reynolds in corrispondenza al quale il
moto diventa turbolento è detto Reynolds critico e il suo valore varia
con la geometria.
Per il moto su una lastra piana il suo valore è:
Nel tratto xcr, misurato a partire dal bordo A, il moto nello strato
limite è laminare e la velocità w varia in funzione della distanza y
dalla parete con legge parabolica. A distanza maggiore di xcr il
regime laminare diviene instabile e, dopo una zona di transizione in
cui si avvicendano continuamente i due differenti regimi, lo strato
limite si presenta turbolento in ogni punto ad eccezione che in un
sottile strato aderente alla parete detto sottostrato laminare. Nello
strato limite turbolento i profili di velocità sono più complessi
mentre nel sottostrato laminare l'andamento delle velocità si
considera di solito lineare. In realtà non esiste demarcazione netta
tra sottostrato laminare e strato turbolento: si passa gradualmente
attraverso una zona intermedia a turbolenza via via più marcata. Se
poi il fluido lambisce la superficie della stessa lastra, mantenuta
però a diversa temperatura, si verifica un fenomeno aggiuntivo.
Elementi di fluido nello strato adiacente alla piastra raggiungeranno
l'equilibrio termico con la piastra portandosi alla temperatura tp e
scambieranno energia termica con elementi di fluidi contigui e così
via. In conseguenza di ciò si svilupperà nel fluido in moto un profilo
di temperatura variabile da tp, in corrispondenza della superficie
della piastra a t∞ a sufficiente distanza da questa. La zona del
fluido in moto sulla superficie nella quale risulta significativa la
variazione di temperatura nella direzione normale alla superficie
viene detta strato limite di temperatura. Anche in questo caso il suo
spessore δt si assume esteso fino alla distanza dalla superficie alla
quale la differenza t - tp è pari al 99% della differenza t∞ - tp.
Nella figura seguente si illustra lo sviluppo degli strati limite
termico e di velocità per un fluido.

Da quanto sopra esposto si nota come la valutazione del coefficiente
di scambio termico convettivo αc sia sempre piuttosto complessa poiché
questo dipende da numerose variabili le quali, nella convezione
forzata, sono le seguenti:
αc = f (ρ, μ, cp, λ ,w, L)
ove ρ, μ, cp, λ sono le caratteristiche termofisiche del fluido, e
cioè densità ,viscosità dinamica µ, calore specifico cp,
conducibilità termica , velocità w e, infine, una lunghezza
caratteristica della geometria considerata L. Il rapporto μ/ρ = 
rappresenta la viscosità cinematica del fluido e si esprime [m2/s].
Poiché una relazione tra tutte queste variabili risulterebbe
particolarmente complessa, queste si possono raggruppano in gruppi
adimensionali e cioè numeri che, per la convezione forzata, sono:
● Numero di Nusselt: ;
● Numero di Reynolds:
● Numero di Prandl: (solo caratt. fisiche del fluido)
I tre gruppi sono numeri adimensionali e, quindi, si sottolinea
l’importanza della coerenza delle unità di misura che debbono essere
considerate.
Un'interpretazione fisica del numero di Nusselt (sia in convezione
forzata che naturale) si può avere considerando lo strato limite di
spessore δ sottoposto a differenza di temperatura tp-t∞ come mostrato
in figura, ove si pone: tp > t∞.

La trasmissione di calore attraverso lo strato avviene per convezione
quando il fluido è in movimento e per conduzione nel caso limite di
fluido in quiete. La potenza termica trasmessa per unità di superficie
nei due casi risulterà:


Il rapporto fra le precedenti relazioni (adimensionali ) evidenzia il
significato fisico del numero di Nusselt:

Il numero di Nusselt confronta quindi la potenza scambiata per
convezione attraverso lo strato limite con quella che sarebbe
trasmessa per pura conduzione attraverso lo stesso strato. Il valore
unitario del numero di Nusselt (Nu = 1) caratterizza quindi la
conduzione pura. All’aumentare del Nusselt la convezione scambia
calore in modo sempre più efficiente. Ritornando al coefficiente di
scambio termico in convezione forzata, i gruppi adimensionali
esprimono una dipendenza del seguente tipo:
Nu = f(Re, Pr)
Il legame funzionale tra i vari gruppi è ottenuto mediante i dati
sperimentali. Ad esempio, in letteratura si trova la seguente
correlazione che esprime il valore medio Nu per un fluido in regime
turbolento su una lastra piana:

Il valore del coefficiente convettivo c può ottenersi dal numero di
Nusselt al primo membro di tali correlazioni. Si può osservare che,
benché il coefficiente c sia funzione di sei variabili, risulti ora
possibile far riferimento ad una correlazione tra soli tre gruppi
adimensionali. Questa riduzione del numero di variabili consente una
più agevole e sintetica rappresentazione dei dati ottenuti da
esperimenti e la loro generalizzazione, ad esempio a fluidi di diverse
proprietà termofisiche.
10.2.2 Convezione naturale
Si consideri, ad esempio, il caso d’aria inizialmente in quiete a
contatto con una parete più calda di un edificio: dapprima per un
processo di conduzione termica si verifica un aumento della
temperatura ed una corrispondente diminuzione di densità degli
elementi di fluido più prossimi alla parete; successivamente tali
elementi, per azione della spinta archimedea, si muoveranno verso
l'alto portandosi verso zone limitrofe a temperatura minore
raggiungendo l’equilibrio termico.
Per approfondire quanto accennato è necessario fare riferimento alla
spinta archimedea (S) che si determina quando un elemento di fluido
non è in equilibrio termico col fluido circostante. Come si vedrà, in
riferimento ad un volume unitario di fluido, tale spinta dipende dal
prodotto  g t, ove ß è il coefficiente di dilatazione termica del
fluido.
Il coefficiente  è definito dalla relazione:
[1/K]
Per tutte le sostanze risulta sempre  > 0. Nel caso di un gas
perfetto sulla base dell'equazione di stato si ottiene immediatamente
 = 1/T.
Si consideri ora un elemento di fluido (volume V, densità f,
temperatura tf) prossimo ad una parete verticale. Come noto, se non vi
è alcuna differenza di temperatura tra la parete ed il fluido, e cioè
se la densità del fluido contenuto in questo volume è pari a f, la
spinta idrostatica S applicata all'elemento di volume equilibra la
forza peso F, e l'elemento è in quiete. In condizioni di non
equilibrio termico la situazione sarà diversa: ad esempio si immagini
che la temperatura dell’elemento di fluido sia t > tf , la conseguente
 risulta:
 = -  f t < 0
e cioè la forza risultante R verso l’alto non sarà più nulla:
R = spinta archimedea – forza peso
R = S – F = f g V -  g V = g V (f - 
La forza di galleggiamento per unità di volume di fluido risulta:


L'entità dello scambio termico per convezione naturale pertanto
dipenderà fortemente dal coefficiente  caratterizzante il fluido in
questione.
In generale, la convezione naturale dipende da numerosi fattori: tra i
principali si citano la dimensione, forma ed orientazione del corpo,
la temperatura della superficie e del fluido, le proprietà
termofisiche del fluido, quali calore specifico (cp), conducibilità
termica (), densità (), viscosità dinamica (µ), coefficiente di
dilatazione termica moltiplicato per l'accelerazione di gravità (g).
Nel caso quindi di convezione naturale, e sempre nel caso delle più
semplici geometrie del sistema (ad esempio, lastra piana verticale,
lastra piana orizzontale e flusso ascendente, etc.), il coefficiente c
risulterà funzione delle seguenti variabili:
c = f (L, g t, µ , , c, )
ove t rappresenta la differenza tra la temperatura della parete e
quella del fluido indisturbato. In convezione naturale la velocità w
non è più una variabile indipendente ma dipenderà dall’entità della
spinta archimedea. Pertanto nella convezione naturale non si farà più
riferimento al numero di Reynolds ma bensì al numero di Grashof che
esprime la spinta di galleggiamento espressa dalla seguente equazione:

Le relazioni adimensionali della convezione naturale sono del tipo:

Il prodotto Gr Pr è detto numero di Rayleigh e quindi la precedente
può essere riscritta:

Come si è ricordato, nella convezione forzata il regime del deflusso
(laminare o turbolento) è determinato dal valore di Re. Nella
convezione naturale tale ruolo è determinato dal numero di Rayleigh:
*
per: Ra < 109 il regime è laminare;
*
per: Ra > 1.21010 il regime è turbolento;
*
all’interno dell’intervallo si ha un regime di transizione.
a) Convezione naturale in regime laminare
A titolo di esempio i dati sperimentali per pareti piane verticali, a
temperatura uniforme, larghezza tale da rendere trascurabile l'effetto
dei bordi, e per superfici cilindriche verticali, sono ben
rappresentati dalla relazione:

b) Convezione naturale in regime turbolento
La correlazione diventa:

Il valore del coefficiente medio convettivo c può essere sempre
ricavato dal numero di Nusselt al primo membro di tali correlazioni.
Nella letteratura tecnica sono riportate un gran numero di
correlazioni, proposte da autori diversi sulla base delle loro prove
sperimentali o di sofisticate indagini teoriche. Esse differiscono tra
loro in relazione ai fenomeni in esame (convezione naturale o forzata,
regime laminare o turbolento) e alla geometria del sistema. In genere,
se non altrimenti specificato, le proprietà fisiche del fluido che
dipendono dalla temperatura sono valutate ad una temperatura pari alla
media tra quella della parete e quella del fluido indisturbato.
I valori del coefficiente c che indicativamente si ottengono nei casi
più comuni mediante le correlazioni riportate in letteratura sono
riassunti nella seguente tabella.
FLUIDO
TIPO DI CONVEZIONE
c [W/m2K]
Aeriforme
Naturale
5 - 20
Forzata
30 - 250
Liquido
Naturale
500 - 700
Forzata
4000 - 8000
Fluido
Ebollizione
20000 - 60000
Per i fluidi più comuni (aria e acqua) e per le più semplici
geometrie, talvolta nelle correlazioni adimensionali, possono essere
introdotti direttamente i valori numerici delle grandezze termofisiche
che caratterizzano questi fluidi, in modo da poter scrivere
espressioni d’uso più immediato. Ad esempio, nel caso di convezione
forzata laminare su pareti, si può utilizzare per l’aria
un’espressione del tipo:
c = A w0.5
ove la costante A che dipende dalla geometria del sistema e dalla
temperatura media dell’aria congloba tutte le altre grandezze
significative. Nel caso di convezione naturale laminare di aria, per
pareti verticali si può scrivere:
c = B t 0.25
ove la costante B congloba tutte le altre grandezze significative.
ESERCIZI ED ESEMPI
1) La superficie laterale di un edificio (lunghezza L = 20 [m]) è
investita da una corrente d’aria con velocità w =10 [m/s]. Se l’aria
investe tangenzialmente la parete si valuti la distanza dal bordo
d’attacco ove si ha la transizione moto laminare-turbolento. Si assuma
tp = 20 [°C] e ta = 0 [°C] e si valuti il coefficiente di scambio
convettivo c.

Il Reynolds critico in corrispondenza al quale il moto diventa
turbolento vale Recr =5105 per cui ricavando xcr si ottiene:
P
ertanto, essendo la zona di parete con flusso laminare molto piccola
rispetto alla zona con flusso turbolento (xcr << L), il coefficiente
medio di scambio potrà essere stimato con la correlazione di
convezione forzata:

La tabella che segue riassume le grandezze termofisiche dell’aria.
T
[K}

[kg/m3]
cp
[J/kgK]

[W/mK]
a
[m2/s]

[kg/ms]

[m2/s]
Pr
[-]
280
1.271
1004
0.0246
1.95 10-5
1.75 10-5
1.40 10-5
0.717
300
1.177
1005
0.0261
2.21 10-5
1.85 10-5
1.57 10-5
0.712
320
1100
1006
0.0275
2.49 10-5
1.94 10-5
1.77 10-5
0.710
340
1.043
1007
0.0290
2.78 10-5
2.03 10-5
1.96 10-5
0.707
Grandezze termofisiche aria a pressione atmosferica
D
alla tabella per t = 10 [°C] 280 [K] risulta:
I
l numero Re è:
Il numero Nu è:

I
l coefficiente di scambio è:
2) La piastra verticale di un corpo scaldante (dimensioni altezza a =
0.6 [m] e larghezza b = 0.6 [m]) è a contatto con aria ambiente alla
temperatura di ta = 20 [°C]. La temperatura superficiale della lastra
a contatto dell’aria è pari a tp = 84 [°C] mentre l’altra faccia della
lastra è termicamente isolata. Si determini il flusso termico
scambiato dalla piastra.
La temperatura media alla quale valutare le proprietà fisiche
dell’aria è:
A questa temperatura si ha:

I
l numero di Rayleigh Ra risulta:
I
l numero di Nusselt Nu è:
I
l coefficiente medio di scambio c è:
Il flusso specifico e il flusso complessivo sono rispettivamente:


ove: A = ab = 0.36 [m2].
CAPITOLO 10
Conduzione e convezione