UNIDAD DIDÁCTICA Http//wwwamolasmateses/progresiones/Examenaritmeticashtm S Ucesiones Concepto De Sucesión Se

unidad didáctica http://www.amolasmates.es/progresiones/examen_aritmeticas.htm s ucesiones co

UNIDAD DIDÁCTICA



http://www.amolasmates.es/progresiones/Examen_aritmeticas.htm
S ucesiones
Concepto de sucesión
Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a
continuación de otro.
a1 , a2 , a3 ,..., an / 3, 6, 9,..., 3n
*
Los números a1 , a2 , a3 , ...; se llaman términos de la sucesión.
*
El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.
*
El término general es an es una expresión matemática que nos
permite determinar cualquier término de la sucesión.
Determinación de una sucesión:
------------------------------
Por el término general
El término general es an es un criterio que nos permite determinar
cualquier término de la sucesión.
an= 2n-1
a1= 2 ·1 - 1 = 1
a2= 2 ·2 - 1 = 3
a3= 2 ·3 - 1 = 5
a4= 2 ·4 - 1 = 7
1, 3, 5, 7,..., 2n-1
No todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, la
sucesión de los números primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...
Por una ley de recurrencia
Los términos se obtienen operando con los anteriores.
Escribir una sucesión cuyo primer término es 2, sabiendo que cada
término es el cuadrado del anterior: 2, 4, 16,...
Sucesión de Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,
2584, ...
Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los
dos términos anteriores.

Sucesiones especiales
---------------------

-------
Números triangulares 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...
Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un
triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el
siguiente número de la sucesión.

Pero es más fácil usar la regla xn = n(n+1)/2
Ejemplo:
*
El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15,
*
y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21
Números cuadrados 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición.
La regla es xn = n2
Números cúbicos 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...


El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.
La regla es xn = n3
Series
------
Toda "sucesión" tiene una "serie asociada” así:
Ejemplo 1
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 … an
Sucesión 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, … 1 (sucesión constante)

Serie s1 = a1 = 1__
s2 = a1+a2= 2____
s3 = a1+a2+a3 = 3____
s4 = a1+a2+a3+a4= 4_____
s5 = a1+a2+a3+a4+a5= 5_____
s6 = a1+a2+a3+a4+a5+a6= 6______
s7 = a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7= 7________
……
sn = a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7 … + an = = n ______=> (serie de nº
naturales)
Ejemplo 2
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 … an

Sucesión 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … n (sucesión nº naturales)
Serie s1 = a1 = 1__
s2 = a1+a2= 3____
s3 = a1+a2+a3 = 6____
s4 = a1+a2+a3+a4= 10____
s5 = a1+a2+a3+a4+a5= 15____
s6 = a1+a2+a3+a4+a5+a6= 21_____
s7 = a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7= 28_______
……
sn = a1+a2+a3+a4+a7 … + an = = n(n+1)/2 ____=> (serie nº
triangulares)
Ejemplo 3
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 … an

Sucesión 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … … 2n-1 (sucesión nº impares)
Serie s1 = a1 = 1__
s2 = a1+a2= 4____
s3 = a1+a2+a3 = 9____
s4 = a1+a2+a3+a4= 16____
s5 = a1+a2+a3+a4+a5= 25____
s6 = a1+a2+a3+a4+a5+a6= 36_____
s7 = a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7= 49_______
……
sn = a1+a2+a3+a4+a7 … + an = = n2 __________=>(serie números
cuadrados)
Operaciones con sucesiones

Dadas las sucesiones an y bn:
an= a1, a2, a3, ..., an
bn= b1, b2, b3, ..., bn
Suma de sucesiones
(an) + (bn) = (an + bn)
(an) + (bn) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn)
Propiedades
1 Asociativa:
(an + bn) + cn = an + (bn + c n)
2 Conmutativa:
an + bn = bn + a n
3 Elemento neutro
(0) = (0, 0, 0, ...)
an + 0 = an
4 Sucesión opuesta
(-an) = (-a1, -a2, -a3, ..., -an)
an + (-an) = 0
Diferencia de sucesiones
(an) - (bn) = (an - bn)
(an) - (bn) = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3, ..., an - bn)
Producto de sucesiones
(an) · (bn) = (an · bn)
(an) · (bn) = (a1 · b1, a2 · b2, a3 · b3, ..., an · bn)
Propiedades
1 Asociativa:
(an · bn) · c n = an · (bn · c n)
2 Conmutativa:
an · bn = bn · a n
3 Elemento neutro
(1) = (1, 1, 1, ..)
an · 1 = an
4 Distributiva respecto a la suma
an · (bn + c n) = an · bn + an · c n

Sucesión inversible
Una sucesión es inversible o invertible si todos sus términos son
distintos de cero. Si la sucesión bn es inversible, su inversa es:
Cociente
Sólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es
inversible.

Tipos de sucesiones
===================

=======
Sucesiones monótonas

Sucesiones estrictamente crecientes
Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es
mayor que el anterior.
an+1 > an
2, 5, 8, 11, 14, 17,...
5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...
Sucesiones crecientes
Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual
que el anterior.
an+1 ≥ an
2, 2 , 4, 4, 8, 8,...
2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...
Sucesiones estrictamente decrecientes
Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término
de la sucesión es menor que el anterior.
an+1 < an
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...
1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ...
Sucesiones decrecientes
Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión
es menor o igual que el anterior.
an+1 ≤ an
Sucesiones constantes
Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son
iguales,
an = k.
an = an+1
5, 5, 5, 5, ...
Sucesiones acotadas inferiormente
Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son
mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior
de la sucesión.
an ≥ k
A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o
ínfimo.
Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.
Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente es
convergente y su límite es igual al supremo de la sucesión.
Sucesiones acotadas superiormente
Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son
menores o iguales que un cierto número K', que llamaremoscota superior
de la sucesión.
an ≤ k'
A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o
supremo.
Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite
finito.
Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.
Toda sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es
convergente y su límite es igual al ínfimo de la sucesión.
Sucesiones acotadas
Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente.
Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la
sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la
sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están
comprendidos entre k y K'.
k ≤ an ≤ K'
Sucesiones convergentes

Límite = 0 Límite = 1
Sucesiones divergentes
Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite
finito.

Límite = ∞
Sucesiones oscilantes
Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus
términos alternan de mayor a menor o viceversa.
1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7, ...
Sucesiones alternadas
Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus
términos. Pueden ser:
Convergentes
1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..
Tantos los términos pares como los impares tienen de límite 0.
Divergentes
1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ...
Tantos los términos pares como los impares tienden de límite +∞.
Oscilantes
−1, 2, −3, 4 ,−5, ..., (−1)n n
Ejemplos
an = 1, 2, 3, 4, 5, ...n Es creciente.
Está acotada inferiormente
Cotas inferiores: 1, 0, -1, ... El mínimo es 1.
No está acotada superiormente. Divergente
bn = -1, -2, -3, -4, -5, ... –n Es decreciente.
Está acotada superiormente
Cotas superiores: -1, 0, 1, ...
El máximo es -1.
No está acotada inferiormente. Divergente
cn = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n Es decreciente.
Está acotada superiormente
Cotas superiores: 2, 3, 4, ... El máximo es 2.
Está acotada inferiormente
Cotas inferiores: 1, 0, -1, ... El ínfimo es 1.
Convergente, límite = 1.
dn= 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)n-1 2n
No es monótona.
No está acotada.
No es convergente ni divergente.
Estudia la monotonía, la convergencia o divergencia y las cotas de las
sucesiones
1 an = 1, 2, 3, 4, 5, ...n
2 an = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n
3 an = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n
4 an= 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)n-1 2n
5
6
7
8

Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada
uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número
fijo llamado diferencia que se representa por d.
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 - 8 = -5; -2 - 3 = -5; -7 - (-2) = -5; -12 - (-7) = -5…. d= -5.
Término general de una progresión aritmética
1 Si conocemos el 1er término y la razón d.
an = a 1 + (n - 1) · d
8, 3, -2, -7, -12, .. a n= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la
progresión y la razón d.
an = ak + (n - k) · d
a 4= -7 y d= -5 an = -7+ (n - 4)· (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13
Interpolación de términos en una progresión aritmética
Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es
construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números
dados. Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12. 8, 3, -2, -7, -12.
Casi siempre, al hablar de interpolar medios, hemos de calcular la
nueva diferencia o razón d.
En la fórmula para el cálculo del valor de d, tendremos que sustituir
n por n+2:

Con esta última fórmula puedes halla la diferencia de la nueva
progresión y volviendo al ejemplo:
L a diferencia o razón es 1.
Esto quiere decir que la nueva progresión sería: 6. 7. 8. 9. 10
Como puedes comprobar,
tenemos 3 medios intercalados entre 6 y 10.
1 Halla la d para interpolar 5 medios aritméticos entre 26 y 80.
Respuesta: 9 (la progresión es: 26. 35. 44. 53. 62. 71. 80)
2 Entre 65 y 165 queremos interpolar 9 medios aritméticos. Calcula d y
la suma de todos los términos.
Respuestas: d = 10; S = 1265
3 Entre –5 y –35 interpolar 5 medios aritméticos. Escribe la
progresión.
Respuesta: d = -5; la progresión es: -5,-10,-15,-20,-25,-30,-35.
4 Las edades de 11 personas están en progresión aritmética y la suma
de todas ellas es de 561, si la mayor tiene 86 años, ¿cuántos tiene la
más joven?
Respuesta: 16 años.
Solución:
Primero calculamos el valor de d de la fórmula del último término:

Como nos ha quedado una ecuación con dos incógnitas, necesitamos otra
ecuación que la tomamos de la fórmula de la suma:

Dividiendo ambos miembros del signo ‘=’ por 11 nos queda:

Conociendo el valor de d calculamos el valor del primer término:

Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética
Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que
la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos .
ai + aj = a1 + an
a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12)
-4 = -4 = -4
Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética
5 Existe una progresión aritmética con este formato:
…………14,6.16.……………..44
Sabemos que tiene 31 términos. ¿Cuánto vale la suma de todos los
términos?
Respuesta: 713
6 La sucesión es una progresión aritmética?
Si lo es, ¿cuánto vale el término 15 y la suma de los 50 primeros
términos?
Respuestas: Se trata de una progresión aritmética de
La suma de los 50 primeros términos = 127,50
Solución:
Para calcular el valor de d restamos

7 Desde el portal de mi casa a la farola más cercana hay 5 metros.
Entre farola y farola hay una distancia constante de 7 metros.
¿Cuántos metros hay desde el portal de mi casa hasta la farola 30?
Respuesta: 208 metros
Solución:
Debes tener en cuenta que entre la farola más cercana al portal de tu
casa hasta la farola 30 hay 29 huecos de 7 metros, es decir, 29 x 7 =
203 metros.

Si a un alambre de 10 metros de largo le das 4 cortes, habrás obtenido
5 trozos:


La diferencia o razón es 1.
Esto quiere decir que la nueva progresión sería: 6. 7. 8. 9. 10
Como puedes comprobar, tenemos 3 medios intercalados entre 6 y 10.
8 Halla la d para interpolar 5 medios aritméticos entre 26 y 80.
Respuesta: 9 (la progresión es: 26. 35. 44. 53. 62. 71. 80)
9 Entre 65 y 165 queremos interpolar 9 medios aritméticos. Calcula d y
la suma de todos los términos.
Respuestas: d = 10; S = 1265
10 Entre –5 y –35 interpolar 5 medios aritméticos. Escribe la
rogresión.
Respuesta: d = -5; la progresión es: -5,-10,-15,-20,-25,-30,-35.
11 Las edades de 11 personas están en progresión aritmética y la suma
de todas ellas es de 561, si la mayor tiene 86 años, ¿cuántos tiene la
más joven?
Respuesta: 16 años.
Solución:
Primero calculamos el valor de d de la fórmula del último término:

Como nos ha quedado una ecuación con dos incógnitas, necesitamos otra
ecuación que la tomamos de la fórmula de la suma:

Dividiendo ambos miembros del signo ‘=’ por 11 nos queda:

C onociendo el valor de d calculamos el valor del primer
término:
12 La sucesión es una progresión aritmética?
Si lo es, ¿cuánto vale el término 15 y la suma de los 50 primeros
términos?
Respuestas: Se trata de una progresión aritmética de
La suma de los 50 primeros términos = 127,50
Solución:
Para calcular el valor de d restamos

13 Desde el portal de mi casa a la farola más cercana hay 5 metros.
Entre farola y farola hay una distancia constante de 7 metros.
¿Cuántos metros hay desde el portal de mi casa hasta la farola 30?
Respuesta: 208 metros
Solución:
Debes tener en cuenta que entre la farola más cercana al portal de tu
casa hasta la farola 30 hay 29 huecos de 7 metros, es decir, 29 x 7 =
203 metros.

Si a un alambre de 10 metros de largo le das 4 cortes, habrás obtenido
5 trozos:

Progresiones geométricas
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se
obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.
Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
6 / 3 = 2; 12 / 6 = 2; 24 / 12 = 2; 48 / 24 = 2; r= 2.
Término general de una progresión geométrica
1 Si conocemos el 1er término y la razón r.
an = a1 · r (n- 1)
3, 6, 12, 24, 48, ..
an = 3· 2 (n – 1) = 3· 2n· 2– 1 = (3/2)· 2n
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la
progresión.
an = ak · r n- k
a4= 24, k=4 y r=2.
an = a4 · rn – 4
an = 24· 2n – 4 = (24/16)· 2n = (3/2)· 2 n
Interpolación de términos en una progresión geométrica
Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es
construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números
dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48. 3, 6, 12, 24, 48.
Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente
Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica
decreciente ilimitada:
En la fórmula de la suma de los n primeros términos de una PG , si -1
< r < 1, se tiene que , es decir, rn se acercará a cero tanto
como queramos, tomando n suficientemente grande.
En consecuencia la fórmula de la suma de los infinitos términos de una
PG sería . Calcula la longitud de la línea quebrada cuando el
proceso de inscribir cuadrados se hace infinito. ¿Cómo será el
perímetro del copo en ese mismo caso?
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión:
3, 6, 12, 24, 48, ...
Producto de dos términos equidistantes
Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que
el producto de términos equidistantes es igual al producto de los
extremos.
ai . aj = a 1 . an
a 3 · an- 2 = a 2 · an- 1 = ... = a 1 · an
3, 6. 12, 24, 48, ...
48 · 3 = 6 · 24 = 12 · 12
144 = 144 =144
Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica
Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión:
3, 6, 12, 24, 48, ...
Cálculo del término general de una sucesión

1 Comprobar si la sucesión es una progresión aritmética.
8, 3, -2, -7, -12, ...
d= -5
an= 8 + (n - 1) (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13
2 Comprobar si la sucesión es una progresión geométrica.
3, 6, 12, 24, 48, ...
r= 2
an = 3· 2n- 1
3 Comprobar si los términos de la sucesión son cuadrados perfectos.
4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
Observamos que las bases están en progresión aritmética, siendo d = 1,
y el exponente es constante: bn= 2 + (n - 1) · 1 = 2 + n -1 = n+1
Por lo que el término general es: an= (n + 1)2
También nos podemos encontrar con sucesiones cuyos términos son
números próximos a cuadrados perfectos.
*
5, 10, 17, 26, 37, 50 ... an= (n + 1)2+ 1
*
6, 11, 18, 27, 38, 51, ... an= (n + 1)2 + 2
*
3, 8, 15, 24, 35, 48, ... an= (n + 1)2 - 1
*
2, 7, 14, 23, 34, 47, ... an= (n + 1)2- 2
4 Si los términos de la sucesión cambian consecutivamente de signo.
Si los términos impares son negativos y los pares positivos:
Multiplicamos a n por (-1)n.
*
-4, 9, -16, 25, -36, 49, ... an= (-1)n(n + 1)2
Si los términos impares son positivos y los pares negativos:
Multiplicamos a n por (-1)n- 1.
*
4, -9, 16, -25, 36, -49, ... an= (-1)n- 1(n + 1)2
5 Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una
progresión). Se calcula el término general del numerador y denominador
por separado.
a n= bn /cn 2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,... an= (3n - 1)/(n + 1)2
1 Hallar el término general de las siguientes sucesiones
1 8, 3, -2, -7, -12, ...
2 3, 6, 12, 24, 48, ...
3 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
4 5, 10, 17, 26, 37, 50, ...
5 6, 11, 18, 27, 38, 51, ...
6 3, 8, 15, 24, 35, 48, ...
7 -4, 9, -16, 25, -36, 49, ...
8 4, -9, 16, -25, 36, -49, ...
9 2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,...
10
2 Calcular el término general de las siguientes sucesiones:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
NÚMEROS FIGURADOS
Karl Friedrich Gauss, llamado el Príncipe de las Matemáticas, estaba
en la escuela cuando su profesor, tal vez con la intención de
entretener a los niños mientras trabajaba, propuso a la clase que
sumaran todos los números del 1 al 100.
El profesor quedó sorprendido cuando Gauss, que tenía 11 años, dio la
respuesta correcta poco después de ser formulada la pregunta.
Seguramente, Gauss procedió de la siguiente manera:

S=101x50=5050
Seguramente conocerás los números triangulares y cuadrados que fueron
estudiados por los Pitagóricos en el s. VI a.C.
NÚMEROS TRIANGULARES:

Para los pitagóricos el diez dispuesto en forma triangular (trianón)
era una figura sagrada por la que tenían la costumbre de jurar.
Tabla de los números triangulares:
Nº
1
2
3
4
...........
n
.
.
T
1
3
6
10
¿Tn?
.
.
Si observamos la naturaleza de los números triangulares es fácil
reconocer las dos propiedades siguientes:
Tn = Tn-1 + n
Tn = 1 + 2 + 3 + .... + n
*
Basándote en la última propiedad, y procediendo como Gauss,
descubre la expresión del enésimo número triangular. Halla también
la expresión de los dos que le siguen.
NÚMEROS CUADRADOS:

Tabla de los números cuadrados:
Nº
1
2
3
4
...........
n
.
.
C
1
4
9
16
...........
n2
.
.
*
Halla la expresión de los dos números cuadrados que siguen al
enésimo. Haz lo mismo con los dos anteriores.
El esquema geométrico que muestra la figura siguiente manifiesta a
relación entre los números triangulares y los cuadrados:

*
Comprueba la igualdad de forma algebraica
Existen más tipos de números figurados:
OBLONGOS (Números rectangulares en los que la dimensión de un lado es
una unidad mayor que el otro)

PENTAGONALES

HEXAGONALES

ESTRELLADOS

CÚBICOS

TETRAÉDRICOS

TÉCNICAS PARA BUSCAR EL PATRÓN
MÉTODOS GEOMÉTRICOS

El esquema anterior sugiere que un número pentagonal se expresa como
la suma de tres números triangulares de un orden menor y de los puntos
de su lado Pn = 3 · Pn-1 + n , de donde

*
Deduce del siguiente esquema el patrón de la secuencia de números
estrellados.

*
Realiza la misma actividad con los números hexagonales:

Ten presente que uno de los vértices se cuenta dos veces.
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Una progresión aritmética (PA) es una secuencia de números reales

de manera que cada término de la sucesión se obtiene sumándole al
anterior una cantidad fija, d, llamada diferencia .
Veamos algunos ejemplos:
-8, -3, 2, 7, 12, 17,... es una PA con a1 = -8 y d = 5.
70, 40, 10, -20, -50,...es una PA con a1 = 70 y d = -30.
3/2, 4, 13/2, 9, 23/2, 14,... es una PA con a1 = 3/2 y d = 5/2.
De esta manera se tiene que :


En general tenemos que
En muchas ocasiones conviene saber cuánto vale la suma de los n
primeros términos de una PA:

Esto nos permite averiguar cómodamente el valor de Tn = 1 + 2 + 3 +
.... + n.
Observamos que el enésimo número triangular se construye sumando los n
primeros términos de la sencilla PA: 1, 2, 3, 4, ......, n, de primer
término 1, enésimo término n y diferencia 1.

Si aplicamos la fórmula anterior se tiene que
Utilicemos lo estudiado para hallar el la expresión del enésimo número
pentagonal:
P 1= 1
P2 = 1+4
P3 = 1+4+7
P4 = 1+4+7+10
P5 = 1+4+7+10+13
Si consideramos la PA 1, 3, 4, 7,10, 13,... de primer término 1 y
diferencia 3, tenemos que Pn se corresponde con la suma de los n
primeros términos de la sucesión. En virtud de las fórmulas que hemos
visto:

*
Halla, mediante una técnica similar, el término general de los
números hexagonales y estrellados.
DIFERENCIAS FINITAS
Comencemos estudiando las diferencias entre los términos consecutivos
de una PA cualquiera, por ejemplo, la 8, 12, 16, 20,...

Veamos la tabla de diferencias de la sucesión de números hexagonales:

Y la de los números cúbicos:

En el caso de la PA las diferencias son constantes. En el de los
números hexagonales lo son las diferencias segundas y, en el caso de
los números cúbicos, hay que llegar hasta la tercera diferencia. Lo
anterior, como se verá, no se debe a la casualidad.
En general, si una secuencia a1 , a2 , a3 , a4,... Tiene las primeras
diferencias fijas podemos concluir que la secuencia es una progresión
aritmética de diferencia d y primer término a1 :

*
Realiza la tabla de diferencias para las secuencias de término
general 2 n + 5, 3 n - 1 y -6 n + 9.

*
¿Cómo son las secuencias de término general an = a n + b?
Veamos que cuando el término general de una secuencia viene dada por
un polinomio de segundo grado en n, an = a n 2 + b n + c, las segundas
diferencias son constantes:

Recíprocamente, si las segundas diferencias son constantes el término
general será del tipo an = a n2 + b n + c.
Se pueden hallar los coeficientes a, b y c de la siguiente forma:
la diferencia segunda es el doble del valor de a, para obtener el
valor de b hay que restarle 3a al primer valor de D1.
Por último, para obtener el coeficiente c, se restan a y b al primer
término de la secuencia.
*
Comprueba lo anterior con la tabla de diferencias para las
secuencias de término general
n2 + 3n + 2 y -n2 + 7
*
Investiga utilizando diferencias el patrón de la secuencia de los
números tetraédricos.
*
Estudia las diferencias de una sucesión de término general an = a
n 3 + b n 2 + c n + d
*
Halla el término general de las secuencias:
2, 9, 20, 35, 54, 77,....
4, 5, 8, 13, 20, 29,....
*
Llamamos números poligonales a los que se generan mediante un
polígono: triangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales, etc.
Comprueba que, si en la fórmula ,

cambiamos b por 1 obtenemos la expresión general de los números
triangulares; si la cambiamos por 2 obtenemos la de los números
cuadrados: si lo hacemos por 3 se obtiene la de los pentagonales, ...
*
Comprueba que se verifican las siguientes relaciones:
Cn=Tn + Tn-1
Pn=Cn + Tn-1
Hn=Pn + Tn-1
etc.
No siempre nos valen las diferencias:
Cuando el término general de una secuencia no sea un polinomio en n no
podremos utilizar la técnica de las diferencias finitas. Veremos
algunos casos en que esto ocurre y aprovecharemos para estudiar dos
tipos de secuencias que también son muy frecuentes en la literatura
matemática: las progresiones g eométricas y las sucesiones
recurrentes.
Estudiemos ahora el siguiente caso: supongamos infinito el proceso de
construcción de cuadrados (el cuadrado grande tiene lado 1).
¿Cuánto mide, cuando llevamos n cuadrados, la longitud de la línea
negra?
¿Y si considerásemos a la infinidad de ellos?
Resuelve la cuestión cuando leas el siguiente apartado:
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Una progresión geométrica (PG) es una secuencia de números reales

de manera que cada término de la sucesión se obtiene multiplicando el
anterior una cantidad fija, r, llamada razón.
De esta manera se tiene que :

En muchas ocasiones conviene saber cuánto vale la suma de los n
primeros términos de una PG:

*
Halla el perímetro del copo de nieve de n capas:

En la fórmula de la suma de los n primeros términos de una PG , si -1
< r < 1, se tiene que , es decir, rn se acercará a cero tanto
como queramos, tomando n suficientemente grande.
En consecuencia la fórmula de la suma de los infinitos términos de una
PG sería . Calcula la longitud de la línea quebrada cuando el
proceso de inscribir cuadrados se hace infinito. ¿Cómo será el
perímetro del copo en ese mismo caso?
SUCESIONES RECURRENTES
De manera algo imprecisa podemos definir las sucesiones recurrentes
como aquellas en las que un término se expresa en función de términos
anteriores.
Veamos un par de casos que aclaren la idea:
Averiguar el número de caminos distintos que se pueden tomar desde los
vértices numerados para llegar hasta 0 (no vale retroceder):

En el esquema se muestra que C n = C n-1 + C n-2 (cada término es la
suma de los dos anteriores)
Según esto la secuencia es 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
Comprueba que al hacer las diferencias termina apareciendo la propia
sucesión, con lo que no se hacen constantes y es imposible determinar,
de esta manera, su término general.
L as Torres de Hanoi:
Hay que traspasar los discos a otro poste, de forma que queden en la
misma posición. Los discos sólo pueden situarse descansando en alguno
de los tres postes, sin que un disco mayor pueda colocarse sobre otro
menor.
Hallar la secuencia
Nº. De discos
1
2
.................................
n
Nº. mínimo de movimientos
1
3
.................................
Metodología.
Comenzar por pocos discos.
Observar que antes de terminar el juego con n discos, hay que hacerlo
con n -1, siendo
A n = A n-1 + 1 + A n-1 = 1 + 2 · A n-1 .
Observar que de A1 = 1; A2 = 3; A3 = 7; A4 = 15; A5 = 15; etc, se
sigue que An= 2n - 1.
Del hecho de que A n = 1 + 2 · A n-1 se deduce que las diferencia
primera será:
D = A n+1 - A n = 1 + 2 A n - A n = 1 + A n que no se hace constante.
Puedes estudiar lo que ocurre con las demás diferencias y comprobarás
que ocurre lo mismo.
Acabamos de exponer dos casos de ecuaciones recurrentes y, en el caso
de las torres de Hanoi, hemos hallado una expresión para su término
general: An = 2n - 1.
APÉNDICES
TRAYECTO DESDE LAS SUCESIONES RECURRENTES A LAS PROGRESIONES
GEOMÉTRICAS MEDIANTE UNA ACTIVIDAD RECREATIVA DEBIDA A LEWIS CARROLL:
El cuadrado e vanescente
Se ha dicho que la Geometría es el arte de razonar bien sobre figuras
falsas. (CHASLES, en otro sentido, claro)
En esta paradoja aparente intervienen los números 5, 8 y 13. Si
probamos a plantearla con cuadrados de otras dimensiones,
comprobaremos que también funciona con los números 8, 13 y 21. Lo
anterior huele a los términos de la sucesión de Fibonacci, vista
anteriormente, en los que cada uno es la suma de los dos anteriores.
Precisamente, si construimos la paradoja con los números 2, 3 y 5
veremos mejor la trampa que encierra (la diagonal del rectángulo no es
una línea, sino un delgado cuadrilátero cuya área vale una unidad).
Sean a, b, c tres términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci,
se tiene que a + b = c y b2 = a · c +1, o b2 = a · c -1
Consideremos una sucesión de términos no necesariamente enteros, en la
que cada término se obtenga mediante la suma de los dos anteriores. La
pregunta es: ¿se podrán dar las condiciones a + b = c y b2 = a · c?.
Es decir, ¿se podrá cortar el cuadrado de tal forma que al disponer
las piezas del rectángulo tenga el área igual al cuadrado?.
Si despejamos c en ambas igualdades e igualamos, tenemos la ecuación b2
- ab - a2 = 0.Cuya solución positiva es
¡Aparece el número áureo!
La única sucesión de Fibonacci en la que cada término es el producto
de sus términos adyacentes es la sucesión 1,N , 1+N, 1+2N, 2+3N,.....
o, equivalentemente, la PG de razón 1,N,N 2,N 3,N 4,...
TÉRMINO GENERAL DE ALGUNAS SUCESIONES RECURRENTES:
Veamos que, en determinados casos particulares, se puede averiguar el
término general de una sucesión recurrente.
Ecuación característica de una sucesión recurrente
Si una relación de recurrencia es del tipo:
siendo los ci números reales, Se denomina ecuación característica de
la relación a la expresión:

Está claro que la sucesión verifica la relación de recurrencia
sii b es raíz de la ecuación característica. En general, si la
ecuación tiene raíces no nulas y distintas, entonces cualquier
sucesión del tipo:
, donde las ci son arbitrarias, verifica la relación de
recurrencia. Si se dan k condiciones iniciales , entonces se
puede obtener una solución particular, pues estas condiciones
determinan un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas ci:

Y al ser las raíces distintas y no nulas, el determinante de la matriz
de los coeficientes, que es el producto de por un determinante
de Vandermonde, es diferente de cero y obtenemos una solución
particular para An
Veamos, como ejemplo, cómo obtener el término general de la sucesión
anterior:
Una sucesión de Fibonacci viene definida en los términos
,
la ecuación característica asociada es .
Si concretamos en nuestro ejemplo del número de caminos, las
condiciones iniciales son d1 = 1, d2 = 2. Tenemos así el sistema

cuyas soluciones son: .
Así pues, el término general de la sucesión viene dado por la
regla: , que se llama fórmula de Binet (1786-1856) porque que
la obtuvo.
Igual hicieron, de manera independiente, Moivre y D. Bernouilli.
Dado que , tenemos que
Por lo tanto para n suficientemente grande.
*
Encuentra el término general de la secuencia 1,2, 5, 14, 41, ...
en la que cada término se obtiene multiplicando por cuatro el
término anterior y restándole el triple del que está detrás de
éste.
ALGUNAS ACTIVIDADES RECREATIVAS RELACIONADAS CON EL TEMA:
*
D. Juan el albañil es especialista en enlosar patios de forma
cuadrada. Su diseño favorito consiste en utilizar losas rojas para
el interior y blancas para los bordes. He aquí algunos patios
construidos por él:

Si atendemos al número L de baldosas que tiene el patio en cada lado,
podemos hacer la siguiente tabla, en la que B indica el número de
baldosas blancas empleadas.
L
3
4
5
6
.................
n
B
8
12
16
20
.................
?
Un señor le pregunta a Juan la fórmula para un patio con n baldosas de
lado. ¿Sabrías ayudarle a averiguar las baldosas blancas y rojas que
se necesitarían?
El Jefe de D. Juan admira la idea de poner losas rojas en el centro y
blancas en los bordes. Su especialidad son los patios rectangulares en
los que un lado es la mitad del otro pero tiene el problema de que se
lía contando. ¿Sabrías ayudarle a calcular las baldosas blancas y
rojas, en función del número de baldosas del ancho del patio?
*
El siguiente problema aparece en el papiro de Rind (2000 a J):
Entre cinco personas se reparten cien medidas de trigo; la segunda
recibe más que la primera tanto como la tercera más que la
segunda, la cuarta más que la tercera y la quinta más que la
cuarta. Además, las dos primeras recibieron siete veces menos que
las tres restantes. ¿Cuánto correspondió a cada una?
*
Para 31 gallinas se ha preparado una cantidad de reservas de
comida a base de un decalitro semanal para cada una. Esto se hacía
en el caso de que el número de gallinas permaneciera invariable.
Pero, debido a que cada semana disminuía en una el número de aves,
la comida preparada duró el doble de lo proyectado. ¿Qué cantidad
de comida prepararon como reserva y para cuánto tiempo fue
calculada?
*
Realiza las sumas:
1+3+5+.....+(2n+1)
3+4+5+.....+(n+2)
5+8+11+....+(3n+2)
*
Los soldados de una guarnición costera van a construir un fuerte
en una isla. Si hubiese trabajado toda la guarnición hubiesen
tardado 24 días. La isla se comunica con la costa mediante un
barco que realiza un viaje diario de ida y vuelta.
E l trabajo fue comenzado por el primer grupo de soldados que
llegó a la isla, al día siguiente se le unió el segundo grupo, al
tercer día el tercero, etc. Sabiendo que todos los grupos eran iguales
y que el primero trabajó once veces más que el último, ¿cuántos días
trabajó cada grupo?
*
Veamos otro clásico problema: Un hortelano vendió al primero de
sus compradores la mitad de las manzanas de su jardín más media
manzana; al segundo la mitad de las restantes más media, al
tercero la mitad de las que quedaban más otra media manzana, etc.
El séptimo comprador, al adquirir la mitad de las manzanas
sobrantes más media manzana, agotó la mercancía. ¿Cuántas manzanas
tenía el jardín?
*
Determina la expresión de An :

*
Demuestra que si multiplicas por ocho un número triangular, y
sumas uno, obtienes un número cuadrado. Intenta demostrarlo
mediante un esquema geométrico. (NOTA: la demostración algebraica
requiere expresar 4n2 + 4n +1 como cuadrado perfecto)
*
Un bodeguero desea almacenar en cinco formaciones triangulares los
140 toneles que dispone. ¿Con cuántos toneles se formará la base?
¿Y si fuesen 345 toneles, podría realizar su deseo?
*
U na escuadrilla aérea tiene unos cincuenta aviones
aproximadamente y su formación en vuelo es un triángulo
equilátero.
Algunos aviones caen después de un combate, de manera que cuando los
aviones restantes regresan lo hacen formando cuatro triángulos
equiláteros de igual lado.
Dinos cuántos aviones tenía la escuadrilla, sabiendo que con los
aviones derribados se podía haber formado otra formación igual en
triángulo equilátero.

*
¿Cuántos trozos, no necesariamente iguales, se pueden obtener como
máximo al realizar n cortes sobre una tarta?
Intenta obtener el máximo con 5 y 6 cortes y comprueba s i lo
has conseguido, sabiendo que las diferencias segundas de dicha
secuencia se hacen constantes.
*
Se necesitaron 20 cubos para construir esta torre de 4 capas.
Expresa el número de cubos necesario para realizar una de n capas.

. Halla An (número máximo de regiones obtenidas por intersección de n
círculos)
*
. A veces las apariencias engañan. Si observamos el número máximo
de regiones que se pueden obtener al unir n puntos de una
circunferencia, la observación de l os 5 primeros términos
parece indicar que la secuencia sigue la fórmula An = 2n-1.
Claramente se ve que el término sexto no cumple ya esa regla.
Determina la expresión general de la sucesión, sabiendo que sus
primeros términos son 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256,... y
que sus cuartas diferencias son constantes.
*
Curiosidades con números cuadrados:
16 = 42
1156 = 342
111556 = 3342
1115556 = 33342
11115556 = 333342
1111155556 = 3333342
12 = 1
112 = 121
1112 = 12321
11112 = 1234321
111112 = 123454321
92 = 81
992 = 9801
9992 = 998001
99992 = 99980001
999992 = 9999800001
Sucesiones - Encontrar la regla
Para encontrar un número que falta en una sucesión, primero tienes que
conocer la regla
A veces basta con mirar los números y ver el patrón.
Ejemplo: 1, 4, 9, 16, ?
Respuesta: son cuadrados (12=1, 22=4, 32=9, 42=16, ...)
Regla: xn = n2
Sucesión: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
¿Has visto cómo escribimos la regla con "x" y "n"?
xn significa "el término en la posición n", así que el tercer término
sería x3
Y también hemos usado "n" en la fórmula, así que para el tercer
término hacemos 32 = 9. Esto se puede escribir
x3 = 32 = 9
Cuando sepamos la regla, la podemos usar para calcular cualquier
término, por ejemplo término 25º se calcula "poniendo dentro" 25 donde
haya una n.
x25 = 252 = 625
Qué tal si vemos otro ejemplo:
Ejemplo: 3, 5, 8, 13, 21, ?
Son la suma de los dos que están delante, o sea 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13
y sigue así (en realidad es parte de la Sucesión de Fibonacci):
Regla: xn = xn-1 + xn-2
Sucesión: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
¿Qué significa xn-1 aquí? Bueno, sólo significa "el término anterior"
porque la posición (n-1) es uno menos que (n).
Entonces, si n es 6, será xn = x6 (el 6º término) y xn-1 = x6-1 = x5
(el 5º término)
Vamos a aplicar la regla al 6º término:
x6 = x6-1 + x6-2
x6 = x5 + x4
Ya sabemos que el 4º es 13, y que el 5º es 21, así que la respuesta
es:
x6 = 21 + 13 = 34
Muy simple... sólo pon números en lugar de "n"
Muchas reglas
Uno de los problemas que hay en "encontrar el siguiente término" de
una sucesión es que las matemáticas son tan potentes que siempre hay
más de una regla que vale.
¿Cuál es el siguiente número de la sucesión 1, 2, 4, 7, ?
Hay (por lo menos) tres soluciones:
Solución 1: suma 1, después suma 2, 3, 4, ...
Entonces, 1+1=2, 2+2=4, 4+3=7, 7+4=11, etc...
Regla: xn = n(n-1)/2 + 1
Sucesión: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...
(La regla parece complicada, pero funciona)
Solución 2: suma los dos números anteriores más 1:
Regla: xn = xn-1 + xn-2 + 1
Sucesión: 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, ...
Solución 3: suma los tres números anteriores
Regla: xn = xn-1 + xn-2 + xn-3
Sucesión: 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, ...
Así que tenemos tres soluciones razonables, y cada una da una sucesión
diferente.
¿Cuál es la correcta? Todas son correctas.

Y habrá otras soluciones.
Hey, puede ser una lista de números ganadores... así que el siguiente
será... ¡cualquiera!
La regla más simple
Cuando dudes, elige la regla más simple que funcione, pero menciona
también que hay otras soluciones.
Calcular diferencias
A veces ayuda encontrar diferencias entre los términos... muchas veces
esto nos muestra una pauta escondida.
Aquí tienes un ejemplo sencillo:

Las diferencias siempre son 2, así que podemos adivinar que "2n" es
parte de la respuesta.
Probamos 2n:
n:
1
2
3
4
5
Términos (xn):
7
9
11
13
15
2n:
2
4
6
8
10
Error:
5
5
5
5
5
La última fila nos dice que siempre nos faltan 5, así que sumamos 5 y
acertamos:
Regla: xn = 2n + 5
OK, podías haber calculado "2n+5" jugando un poco con los números,
pero queremos un sistema que funcione, para cuando las sucesiones sean
complicadas.
Segundas diferencias
En la sucesión {1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...} tenemos que calcular las
diferencias...
... y después calcular las diferencias de esas diferencias (se llaman
segundas diferencias), así:

En este caso las segundas diferencias son 1.
Con las segundas diferencias multiplicamos por "n2 / 2".
En nuestro caso la diferencia es 1, así que probamos n2 / 2:
n:
1
2
3
4
5
Términos (xn):
1
2
4
7
11
n2:
1
4
9
16
25
n2 / 2:
0.5
2
4.5
8
12.5
Error:
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
Estamos cerca, pero nos estamos desviando en 0.5 cada vez más, así que
probamos ahora: n2 / 2 - n/2
n2 / 2 - n/2:
0
1
3
6
10
Error:
1
1
1
1
1
Ahora nos sale 1 menos, así que sumamos 1:
n2 / 2 - n/2 + 1:
1
2
4
7
11
Error:
0
0
0
0
0
La fórmula n2 / 2 - n/2 + 1 se puede simplificar a n(n-1)/2 + 1
Así que, con "prueba y error" hemos conseguido descubrir la regla.
Sucesión: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, ...
Otros tipos de sucesiones
Además de las que se explican en sucesiones y series:
*
Sucesiones aritméticas
*
Sucesiones geométricas
*
Sucesión de Fibonacci
*
Sucesiones triangulares
Ten en cuenta
*
Números primos
*
Números factoriales
*
¡y cualquier otra sucesión que veas en tus viajes!
La verdad es que hay demasiados tipos de sucesiones para decirlos
aquí, pero si hay alguno que te gustaría que digamos, sólo tienes que
decírmelo.
La sucesión de Fibonacci
========================
La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Cada número se calcula sumando los dos anteriores a él.
*
El 2 se calcula sumando (1+1)
*
Análogamente, el 3 es sólo (1+2),
*
Y el 5 es (2+3),
*
¡y sigue!
Ejemplo: el siguiente número en la sucesión de arriba sería (21+34) =
55
¡Así de simple!
Aquí tienes una lista más larga:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,
1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393,
196418, 317811, ...
¿Puedes encontrar los siguientes números?
La regla
--------
La sucesión de Fibonacci se puede escribir como una "regla" (lee
sucesiones y series): la regla es xn = xn-1 + xn-2 donde:
*
xn es el término en posición "n"
*
xn-1 es el término anterior (n-1)
*
xn-2 es el anterior a ese (n-2)
Por ejemplo el sexto término se calcularía así:
x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8
Razón de oro
------------

Y hay una sorpresa. Si tomas dos números de Fibonacci consecutivos
(uno detrás del otro), su cociente está muy cerca de la razón aúrea "φ"
que tiene el valor aproximado 1.618034...
De hecho, cuanto más grandes los números de Fibonacci, más cerca está
la aproximación. Probemos con algunos:
A
B
B / A
2
3
1.5
3
5
1.666666666...
5
8
1.6
8
13
1.625
...
...
...
144
233
1.618055556...
233
377
1.618025751...
...
...
...
Usar la razón de oro para calcular números de Fibonacci
-------------------------------------------------------
Y es más sorprendente todavía esta fórmula para calcular cualquier
número de Fibonacci usando la razón de oro:

Increíblemente el valor siempre es un número entero, exactamente igual
a la suma de los dos términos anteriores.
Ejemplo:

Cuando usé una calculadora para hacerlo (con sólo 6 decimales para la
razón aúrea) obtuve la respuesta 8.00000033. Un cáculo más exacto
habría dado un valor más cercano a 8.
¡Prueba tú mismo!
E JERCICIOS DE REPASO
SUCESIONES Y PROGRESIONES
1.- Halla el noveno término de la progresión 5, 8, 11, 14, ...
2.- El primer término de una p. a. es 7 y el sexto es –3. ¿Cuál es la
diferencia?. Calcula la suma de los 100 primeros términos de esta
progresión.
3.- Halla el trigésimo término de la progresión 36, 18, 9, 4’5, .....
4.- Halla la suma de los infinitos términos de la progresión
geométrica 2, 1, ½, ¼, .....
5.- Halla la suma de los 13 primeros términos de la p. g. cuyo primer
término es a1=5 y cuya razón es r=2.
6.- Comprueba si las siguientes progresiones son aritméticas o
geométricas. Escribe cuatro términos más de cada una de ellas. Calcula
sus términos generales.
a) 2, 5, 8, 11, 14, ... b) 30, 28, 26, 24, 22, ...
c) 8, -16, 32, -64, 128, ... d) 0, -5, -10, -15, -20, ...
e) 7, 7, 7, 7, 7, ... f) –16, -15’5, -15, -14’5, -14, ...
g) 1, 0’2, 0’04, 0’008, 0’0016,… h) 5, 10, 20, 40, …
i) –3, -9, -27, -81, -243, … j) 2, -6, 18, -54, …
7.- Compramos un televisor a plazos, y tenemos que pagar 63 el primer
mes; 69 el segundo; 75 el tercero, y así sucesivamente. El último
mes pagamos 117. ¿Durante cuántos meses hemos estado pagando?
8.- Juan envía dos postales a dos amigos el día 1 de enero,
pidiéndoles que envíen a otros dos amigos dos postales el día primero
del mes siguiente. Si no se rompe la cadena y los destinatarios son
distintos, ¿cuántas postales se envían en un año?
9.- Una hoja de papel tiene aproximadamente un grosor de 0’13 mm.
Supongamos que podemos hacer dobleces en ella de forma indefinida.
a.
¿Qué grosor alcanzará cuando hayamos hecho 10 dobleces?
b.
¿Y después de hacer 20?
c.
Comprueba que si pudiéramos doblar la hoja por la mitad 42 veces,
el grosor resultante superaría la distancia de la Tierra a la
Luna, que es de unos 384000 Km.
10.- Una moto cuesta 3000. Cada año que pasa, por su uso y
envejecimiento, pierde un 20% de su valor. ¿Por cuánto la podremos
vender al cabo de diez años?
1
1.- Observa cómo se construye con palillos la siguiente sucesión de
triángulos. Escribe la sucesión que indica el número de palillos
necesarios para construir cada término y calcula el término general.
¿Qué tipo de sucesión es?
12.- Progresiones aritméticas de segundo orden:
a) 49, 64, 81, 100, 121, 144, ...
b) 2, 2, 4, 8, 14, ...
c) 9, 18, 31, 48, 69,...
d) 8, 24, 46, 74, 108,...
e) 7, 11, 19, 31, 47,...
f) -3, 0, 7, 18, 33,...
g) 3, 10, 23, 42, 67,...
Ejercicios de progresiones aritméticas
1 El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es
16. Escribir la progresión.
2 Escribir tres medios aritméticos entre 3 y 23.
3 Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.
4 El primer término de una progresión aritmética es -1, y el
décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince
primeros términos.
5 Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.
6 Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.
7 Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5.
8 Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en
progresión aritmética, siendo d= 25º.
9 El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los
otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión
aritmética.
10 Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y
siendo la suma de sus cuadrados es 511/2.

II. Término General de una Sucesión
Se llama término general de una sucesión, y se simboliza con aun, al
término que representa uno cualquiera de ella.
*
H ay sucesiones cuyo término general puede expresarse
mediante una fórmula:
Dándole a n un cierto valor natural, se obtiene el término
correspondiente.
*
En otras sucesiones, para hallar un término es necesario operar
con dos o más de los anteriores y se llaman sucesiones
recurrentes. Para hallar un término concreto hay que obtener,
previamente, todos los anteriores.
Ejemplos:
1) 5; 8; 12; 17; 23
2) 42; 36; 28; 18; 6; 8
3) 1; 2 ;6 ; 24; 120; 720
III. Tipos De Sucesiones
a) Sucesión por Recurrencia
En las cuales encontramos la serie Fibonacci. Es aquella en la cual se
usa sus términos anteriores para formar el siguiente.
Ejemplo:
1; 1; 2;3 ; 5; 8; 13; …….
b) Sucesiones Aritméticas
Ejemplos:
*
5; 8; 12; 17; 22;…
*
30; 28; 26; 24; 22;…
c) Sucesiones geométricas
Ejemplos:
*
5; 20; 80; 320; 1280;…
*
600; 300; 150; 75;…
d) Sucesiones combinadas
Ejemplos:
*
0; 4; 8; 12; 24; 28;…..
*
30; 15; 20; 10; 15;…
e) Sucesiones alternadas
Son las que se dan al intercalar don o más sucesiones que se rigen
cada uno de ellas por su respectiva ley de formación .
Ejemplos:
*
6; 5; 8; 7; 11; 10; 15; 14; 20; 19
Solución
1º) 6; 8; 11; 15; 20
2º) 5; 7; 10; 14; 19
*
2; 17; 2; 16; 4; 14; 12; 11; 48; 7
Solución
1º) 2; 2; 4; 12; 48
2º) 17; 16; 14; 11; 7
f) Sucesiones Literales
Es un conjunto de letras del abecedario, cuyo procedimiento es el
mismo que el de una sucesión numérica.
Se considera a la letra “CH” y “LL” cuando por lo menos una de ellas
aparece como dato del problema.
Ejemplos:
*
A; C; E; G; I; J
*
A; CH; G; J; N; P
g) Sucesiones Alfanuméricas
Es una sucesión donde convergen una sucesión numérica y una sucesión
literal o alfanumérica, cada uno con respecto a la ley de formación.
Ejemplos:
*
1; C; 2; E; 4; I; 7; Ñ
Solución
1º) 1; 2; 4; 7
2º) C; E; I; Ñ
h) Sucesiones graficas
Se da por lo general en los gráficos circulares, cuya ley de formación
puede ser en sentido horario o antihorario.

Solución
4; 9; 16; 25; 36; X
Donde x=36+13=49
IV. Termino Enésimo
Es el término general mediante el cual se obtiene un término
cualquiera de la sucesión en función de otros anteriores.
Este término será dado por la variable “n” que toma los valores de 1,
2, 3, …. y así sucesivamente donde se obtiene el primer, segundo,… y
así sucesivamente el Enésimo Termino.
a) Sucesión Lineal
Se dice así cuando la razón es constante, cuya ley de formación o
termino enésimo es dada por la siguiente sucesión:


b) Sucesión no Lineal
Se dice cuando la razón de sus términos no son constantes

c) Sucesión Cuadrática
Sean los términos de una sucesión cuadrática:












Sucesiones y Progresiones Página 56 de 56