IES CUADERNO Nº 6 NOMBRE FECHA / /

i.e.s. _______________________ cuaderno nº 6 nombre: fecha: / / figuras planas, propiedades métricas con

I.E.S. _______________________
CUADERNO Nº 6
NOMBRE:
FECHA:
/ /

Figuras planas, propiedades métricas
Contenidos
1. Ángulos en la circunferencia
Ángulo central y ángulo inscrito
2. Semejanza
Figuras semejantes
Semejanza de triángulos, criterios
3. Triángulos rectángulos
Teorema de Pitágoras
Aplicaciones del Teorema de Pitágoras
4.
Lugares geométricos
Definición y ejemplos
Más lugares geométricos: las cónicas
5. Áreas de figuras planas
Objetivos
*
Reconocer los ángulos importantes en una circunferencia y sus
relaciones.
*
Averiguar cuándo dos triángulos son semejantes.
*
Utilizar el teorema de Pitágoras para resolver algunos problemas.
*
Identificar la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un
ángulo como conjuntos de puntos.
*
Calcular el área de recintos limitados por líneas rectas y por
líneas curvas.
Autor: Xosé Eixo Blanco
Bajo licencia

Creative Commons
Si no se indica lo contrario.
Frame1
Observa en la escena que van apareciendo algunas figuras geométricas.
En este tema trabajaremos con esas figuras y estudiaremos sus
propiedades.
¿Qué figuras reconoces en esa escena?
En estas dos figuras de la derecha aparecen dos construcciones que
habrás estudiado en cursos anteriores.
¿Sabrías a que corresponde cada una de ellas?

Pulsa en

Para RECORDAR una propiedad importante de los triángulos.
PROPIEDAD
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a _______
Completa el dibujo y la demostración

Pulsa

para ver la demostración
Cuando acabes
pulsa

para ir a la página siguiente.
1.
Ángulos en la circunferencia
1.a. Ángulo central y ángulo inscrito
Lee en la pantalla la explicación teórica de este apartado.
En la circunferencia de la escena de la derecha:
¿Dónde tiene su vértice el ángulo α?
__________________________________________
¿Cómo se llama ese ángulo?
___________________________________________
¿A qué arco corresponde su medida? _____________
¿Dónde tiene su vértice el ángulo β?
__________________________________________
¿Cómo se llama ese ángulo?
___________________________________________
¿A qué arco corresponde su medida? _____________

En la escena pulsa

Aparece un círculo y en el un ángulo central y un ángulo inscrito que
comparten un mismo arco de circunferencia RS.
Mueve el punto R hasta un punto cualquiera.
¿Qué relación hay entre las medidas del ángulo central y del inscrito?
_________________________________________________________________________
Pulsa nuevamente

Ahora mueve el punto P y fíjate en la medida del ángulo inscrito.
¿Cambia el valor del ángulo inscrito al cambiar el vértice de
posición? ____
Es decir, ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de
circunferencia son _______
Pulsa nuevamente

Ahora sitúa el punto R en x=–5, y=0
¿Cuánto mide ahora el ángulo central? ________ ¿y el inscrito?
___________
E scribe la propiedad que relaciona las medidas de un ángulo
central y de un ángulo inscrito que abarcan un mismo arco de
circunferencia:
Después…
Pulsa en

para hacer ejercicios.
Se abre una ventana en la que aparecerán 3 escenas con ejercicios que
debes resolver en los cuadros de la página siguiente.
Pulsa: Comenzar

Frame2
Cuando acabes
pulsa

para ir a la página siguiente.
2.
Semejanza
2.a. Figuras semejantes
Lee en la pantalla la explicación teórica de este apartado.
Observa a la derecha, en la escena de pantalla, algunas parejas de
figuras semejantes.
¿Qué es lo que tienen en común? ___________________
¿Qué es lo que tienen diferente? ____________________

C ompleta:
Dos figuras planas se consideran semejantes si existe ______________
____________________, llamada ______________________________, entre
sus _________________ homólogos y además sus ____________ homólogos
son ___________________.
Pulsa la flecha de avanzar

en la escena de la derecha
En las siguientes escenas verás la explicación del TEOREMA DE THALES.
En la primera aparece su enunciado de este teorema.
Si quieres detener la escena, pulsa el botón secundario del ratón y
aparecerá un recuadro que en su parte inferior tiene los botones de
retroceso y pausa/avance:
Enunciado del Teorema de Thales
Pulsando
Continuar


Irá apareciendo una figura formada por tres rectas paralelas (que
puedes mover arrastrando el punto naranja) y dos rectas que las cortan
(que también puedes mover utilizando los puntos azules).
Anota aquí las medidas de los segmentos que se indican y los cocientes
entre esos segmentos:












¿Qué relaciones observas?
Pulsa
Continuar


Haz lo que se indica:
Une los puntos azules para construir dos triángulos PAB y PA’B’. ¿En
que posición se dice que están?
____________________________________
Mueve en la escena el punto P y en cualquier posición toma nota de las
siguientes medidas:









Pulsa
Continuar


Aparecen dos figuras semejantes.
Observa la escena detenidamente.
¿Cómo son entre sí los ángulos homólogos?
A A’ B B’ C C’ D D’
Los cuatro pares de lados guardan la misma
________________________________

Pulsa en

para hacer ejercicios. Aparecerán los mismos de los siguientes
recuadros:
Frame3
Frame4
2.b. Triángulos semejantes. Criterios
Lee en la pantalla la explicación teórica de este apartado.
¿Cuándo se dice que dos triángulos son semejantes?
__________________________________
__________________________________.
¿Cómo son entre si los lados homólogos?
__________________________________.
¿Cómo son entre si los ángulos? __________________________________.

Criterios de semejanza de triángulos
En la escena de la derecha puedes ver los tres criterios de semejanza
de triángulos.
En cada uno de ellos puedes ver la demostración pulsando

Lee atentamente cada una de las demostraciones y escribe cada uno de
los criterios en los siguientes recuadros:
Pulsa


Primer criterio de semejanza
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
Pulsa


Segundo criterio de semejanza
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
Pulsa


Tercer criterio de semejanza
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
Pulsa en

para hacer ejercicios. Aparecerán los mismos del siguiente recuadro:
Frame5
Cuando acabes
pulsa

para ir a la página siguiente.
3.
Triángulos rectángulos
3.a. El teorema de Pitágoras
Lee en pantalla el enunciado del Teorema de Pitágoras y escríbelo en
el siguiente recuadro:
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Debajo del enunciado del teorema de Pitágoras puedes ver una
explicación geométrica.
Completa lo que falta en este dibujo:

En la escena pulsa

Para ver una demostración del TEOREMA DE PITÁGORAS
Aparece un triángulo rectángulo de hipotenusa a y catetos b y c
Paso 1. Construimos un cuadrado de lado el cateto b y otro cuadrado de
lado el cateto c:
(Completa el dibujo)

Pulsa nuevamente

Observa como a partir de los cuadrados anteriores puedes obtener el
siguiente cuadrado. Completa los datos en el dibujo:
¿Cuál es el área del cuadrado de lado b?
¿Cuál es el área del cuadrado de lado c?
¿Cuál es el área del cuadrado grande que se ha construido?
¿Qué relación hay entre esas tres áreas?

Pulsa Repetir

Para ver de nuevo esta demostración
Para ver otra demostración pulsa en

Cuando acabes …
Pulsa

para ir a la página siguiente.
3.b. Aplicaciones del teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras es de gran utilidad en multitud de problemas
en los que se presenta algún triángulo rectángulo. En la escena de la
derecha verás ejemplos de cada uno de ellos.
Pulsa Comenzar

Para ver el 1er ejemplo
Pulsa Continuar

para ver el siguiente
DIAGONAL DE UN RECTÁNGULO
ALTURA DE UN TRIÁNGULO ISÓSCELES
Completa el dibujo
Fórmulas
Completa el dibujo
Fórmulas


Pulsa Continuar

para ver el siguiente
Pulsa Continuar

para ver el siguiente
LADO DE UN ROMBO
ALTURA DE UN TRAPECIO
Completa el dibujo
Fórmulas
Completa el dibujo
Fórmulas


Pulsa Continuar

para ver el siguiente
Pulsa Continuar

para ver el siguiente
SEGMENTO DE TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
DIAGONAL DE UN CUBO
Completa el dibujo
Fórmulas
Completa el dibujo
Fórmulas


Pulsa en

para hacer ejercicios. Aparecerán los mismos del siguiente recuadro:
Frame6
4.
Lugares geométricos
4.a. Definición y ejemplos
Completa:
Un lugar geométrico en el plano es ___________________________, que
cumplen todos ellos ___________________________.
En la escena de la derecha, pulsa

En las siguientes escenas verás la explicación de la construcción
geométrica con regla y compás de la MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO.
Si quieres detener la escena, pulsa el botón secundario del ratón y
aparecerá un recuadro que en su parte inferior tiene los botones de
retroceso y pausa/avance: .
PASOS PARA REALIZAR LA CONSTRUCCIÓN
DIBUJO DE LA MEDIATRIZ
1.- Trazamos un arco de circunferencia ___________
_______________________________________
2.- Con centro en B ___________________________
_______________________________________
La recta que pasa ____________________________
___________________________________________
La MEDIATRIZ del segmento AB es _____________
_______________________________________
______________________________________

Una vez dibujada la mediatriz del segmento AB, vamos a definirla como
LUGAR GEOMÉTRICO.
Completa el siguiente gráfico y razona cuál es la propiedad que cumple
cualquier punto P que esté situado en la mediatriz.

La MEDIATRIZ del segmento AB es el LUGAR GEOMÉTRICO de los puntos, P,
que:_________________________ ______________________________
En la escena de la derecha, pulsa

Ahora veremos la construcción geométrica con regla y compás de la
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO.
PASOS PARA REALIZAR LA CONSTRUCCIÓN
DIBUJO DE LA BISECTRIZ
1.- Con centro en O, trazamos __________________
________________________________________
2.- Este arco corta ___________________________
________________________________________
3.- Con centros en A y B _______________________
________________________________________
La recta que pasa ____________________________
___________________________________________
La BISECTRIZ de un ángulo es _________________
________________________________________
________________________________________

Ahora vamos a definir la bisectriz como LUGAR GEOMÉTRICO.
En la escena ves que situando un punto P en cualquier lugar de la
bisectriz, se trazan perpendiculares a los lados del ángulo r y s
obteniendo los puntos Q y R.
Se forman así dos triángulos rectángulos OQP y ORP.

¿Cómo son entre si los dos triángulos ORP y OQP?
___________________________________________
¿Cómo son entre si los segmentos RP y QP?
___________________________________________
CONCLUSIÓN:
La BISECTRIZ de un ángulo es el LUGAR GEOMÉTRICO de los puntos del
plano que________
__________________________________________
Pulsa en

para ver otro ejemplo interesante: ARCO CAPAZ
Pulsa en

Completa:
El arco capaz de un ángulo α sobre un segmento AB es
______________________________
___________________________________________________________________________
Pulsa en

Indica un valor para el ángulo utilizando el control numérico

Pulsa Continuar

PASOS PARA REALIZAR
LA CONSTRUCCIÓN
DIBUJO DEL ARCO CAPAZ
1.- Empezamos trazando_______________
___________________________________
___________________________________

Pulsa Continuar

2.- A continuación trazamos ____________
___________________________________
___________________________________
Y obtenemos el punto _________________
___________________________________
___________________________________
Pulsa Continuar

3.- Observamos que el ángulo inicial α es igual al ángulo azulado que
obtenemos, formado por _________________________
Pulsa Continuar

4.- Por fin trazamos __________________
___________________________________
___________________________________
Pulsa Continuar

Observa en la escena, moviendo el punto P, que ha quedado dibujado el
arco capaz.
Cuando acabes
pulsa

para ir a la página siguiente.
4.b. Más lugares geométricos: Cónicas
Completa:
Las curvas cónicas, conocidas desde la antigüedad, pueden obtenerse
seccionando __________ con ___________.
Las curvas cónicas son tres:
*
________________________________________________________________
*
_________________________
*
_________________________
En la escena de la derecha aparece un cono (superficie cónica
ilimitada).
Fíjate que puedes girarlo verticalmente si haces arrastre mientras
pulsas el botón del ratón.
En el menú superior elige:

Aparece un plano que corta a la superficie cónica. Dibújalo a
continuación:

¿En que posición está el plano? __________________________
Pulsa en la esquina inferior derecha de la escena: Definición>>
Aparece una nueva escena en la que se observa la propiedad y la
definición de esta curva cónica como lugar geométrico.

Escribe la fórmula en el recuadro.
COMPLETA:
Circunferencia: Lugar geométrico de los puntos del plano que
__________
______________________
______________________
______________________
Pulsa en la esquina inferior izquierda de la escena: << Volver
Para ver otra curva cónica…
En el menú superior elige:

Aparece un plano que corta a la superficie cónica. Dibújalo
¿En que posición está el plano? ___________________________
Pulsa en la esquina inferior derecha de la escena: Definición>>


Escribe la fórmula en el recuadro.
COMPLETA:
Elipse: Lugar geométrico de los puntos del plano que
______________________
______________________
______________________
______________________
Pulsa en la esquina inferior izquierda de la escena: << Volver
Para ver otra curva cónica…
En el menú superior elige:

Aparece un plano que corta a la superficie cónica. Dibújalo
¿En que posición está el plano? __________________________
Pulsa en la esquina inferior derecha de la escena: Definición>>


Escribe la fórmula en el recuadro.
COMPLETA:
Hipérbola: Lugar geométrico de los puntos del plano que __________
______________________
______________________
______________________
______________________
Pulsa en la esquina inferior izquierda de la escena: << Volver
Para ver otra curva cónica…
En el menú superior elige:

Aparece un plano que corta a la superficie cónica. Dibújalo
¿En que posición está el plano? _________________________
Pulsa en la esquina inferior derecha de la escena: Definición>>


Escribe la fórmula en el recuadro.
COMPLETA:
Parábola: Lugar geométrico de los puntos del plano que ________
____________________
____________________
____________________
Pulsa en

para ver otra propiedad de las cónicas:
Completa:
Las curvas cónicas tienen un parámetro que permite _______________.
Dicho parámetro se llama ________________.
En la escena aparece

Y debajo el dibujo de una elipse.

Pulsa el botón

Y observa como evoluciona la elipse.
Cuando e = 0, ¿qué curva cónica se obtiene?
_____________________________________
Pulsa el botón

Y observa como evoluciona la elipse.
Cuando e = 1, ¿qué curva cónica se obtiene?
_____________________________________
Cuando e > 1, ¿qué curva cónica se obtiene?
_____________________________________
Pulsa Ejercicio

Escribe debajo de cada figura el valor de su excentricidad.






e =
e =
e =
e =
e =
e =
Cuando acabes
pulsa

para ir a la página siguiente.
5.
Aplicaciones
5.a. Áreas de figuras planas
Completa los nombres de las figuras geométricas y las fórmulas para
calcular sus áreas:
Figura
Nombre y Área
Figura
Nombre y Área












Frame7

Recuerda lo más importante – RESUMEN
Teorema de Thales
Teorema de Pitágoras


Semejanza
Dos figuras planas son semejantes si ________________________________,
llamada _____________________, entre
__________________________________
__________________________________
En el caso de los triángulos basta que se cumpla uno de los criterios:


Lugares geométricos
Un lugar geométrico en el plano es ___________________
________________________________________________.
La mediatriz de un segmento AB es el lugar geométrico _____________
______________________.
La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico ___
_____________________
_____________________.
La circunferencia, es el lugar geométrico _______________
________________________
________________________.



(Completa los dibujos)
Pulsa

para ir a la página siguiente

Para practicar
En esta unidad encontrarás ejercicios de:
*
Semejanza, teorema de Pitágoras y lugares geométricos
*
Áreas de figuras planas
Completa los enunciados y resuélvelos. Después comprueba si lo has
hecho bien.
TEOREMA DE THALES
1.
Las rectas r, s y t son paralelas, determina el valor de x en cada
caso:




SEMEJANZA
2.
Los cuadriláteros de la figura son semejantes. Halla la longitud
del lado x y el ángulo B.

3.
Los triángulos de la figura son rectángulos y semejantes, calcula
los elementos que faltan en cada uno.

4.
Comprueba que en un triángulo rectángulo ABC, los triángulos que
determina la altura sobre la hipotenusa y el mismo ABC son
semejantes. Si los catetos miden 8 cm y 5 cm, calcula la altura.

TEOREMA DE PITÁGORAS
5.
Los lados de un triángulo miden____________________________. ¿Es
rectángulo? En caso afirmativo, ¿cuánto mide la hipotenusa?
6.
¿Cuánto mide el radio de la circunferencia de la figura?

7.
En un triángulo isósceles los lados iguales miden 12 cm y el lado
desigual 8 cm, ¿cuánto mide la altura?
8.
El radio de la circunferencia mayor mide 10 cm, ¿cuánto mide el
radio de la menor?

LUGARES GEOMÉTRICOS
9.
Determina el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las
rectas de las figuras:


10.
El triángulo de la figura es isósceles. Si se desplaza el vértice
C de forma que el triángulo siga siendo isósceles, ¿qué lugar
geométrico determina C?

11.
Determina el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos
circunferencias concéntricas, de radios respectivos ___________.

ÁREAS DE RECINTOS PLANOS
El mural – Tipo 1
12.
Se quiere construir un mural de ____ de largo por _____ de alto
uniendo cuadrados de ______ de lado como el de la figura. ¿Qué
superficie quedará de color azul?

El mural – Tipo 2
13.
Se quiere construir un mural de ____ de largo por _____ de alto
uniendo cuadrados de ______ de lado como el de la figura. ¿Qué
superficie quedará de color azul?

El mural – Tipo 3
14.
Se quiere construir un mural de ____ de largo por _____ de alto
uniendo cuadrados de ______ de lado como el de la figura. ¿Qué
superficie quedará de color azul?

El estadio
15.
Un estadio tiene la forma y dimensiones del dibujo. ¿Qué
superficie ocupan las pistas?

La plaza
16.
Una plaza tiene forma elíptica y las dimensiones de la figura. En
el centro hay una fuente circular de _______ de radio, rodeada de
un paseo de tierra y en el resto hay césped. ¿Qué superficie ocupa
el césped?, ¿y el paseo?

La cometa – Tipo 1
17.
Para construir una cometa se ha empleado tela de color verde y
naranja como en la figura. ¿Qué cantidad de cada color?

La cometa – Tipo 2
18.
Para construir una cometa se ha empleado tela de color verde y
naranja como en la figura. ¿Qué cantidad de cada color?

La cabra – Tipo 1
19.
Una cabra está atada en la esquina de un corral cuadrado de _____
de lado, con una cuerda de ______ de largo, ¿cuál es la superficie
sobre la que puede pastar?

La cabra – Tipo 2
20.
Una cabra está atada en la esquina de un corral cuadrado de _____
de lado, con una cuerda de ______ de largo, ¿cuál es la superficie
sobre la que puede pastar?

La catedral
21.
La portada de una catedral románica está decorada con frescos
pintados sobre una zona como la coloreada en la figura. ¿Qué
superficie se ha pintado?

Las lúnulas
22.
La base del triángulo de la figura mide ______ y la altura ______.
Calcula el área del recinto de color azul (formado por dos figuras
parecidas a dos lunas).

Autoevaluación

Completa aquí cada uno de los enunciados que van apareciendo en el
ordenador y resuélvelo, después introduce el resultado para comprobar
si la solución es correcta.

¿Son paralelas las dos rectas de color azul de la figura?
(Utiliza el teorema de Thales para comprobar la respuesta)


¿Cuánto mide el ángulo α de la figura?
(Dibújalo primero en el círculo de la derecha)


¿Cuánto mide el ángulo B de la figura?


Los lados de un rectángulo miden ________ y los de otro _________.
¿Son semejantes esos dos rectángulos?

Los lados del triángulo verde (el interior) miden __________________.
¿Cuánto mide el lado mayor del triángulo naranja?


Los lados iguales de un triángulo isósceles y rectángulo miden _____.
¿Cuánto mide el lado desigual?


Calcula el radio de la circunferencia de la figura.


La suma de las distancias de un punto de la elipse a los focos es
_______ y el semieje menor mide _____. ¿Cuál es la distancia entre los
focos?


Calcula el área de la figura azul inscrita en una circunferencia de
radio _____.


Las diagonales del rombo de la figura miden ______ y ______. Calcula
el área del recinto de color azul.
(Comprendido entre el rombo y la elipse)


Figuras planas, propiedades métricas
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