facultad de ingeniería____________________________________________________ cátedra: fisica i unidad vii: impulso y cantidad de movimiento

Facultad de
Ingeniería____________________________________________________
Cátedra: FISICA I
Unidad VII: Impulso y Cantidad de Movimiento
UNIDAD VII
IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
INTRODUCCIÓN
Se llama Cantidad de Movimiento (también momentum: importancia que
adquiere la masaa con la velocidad) a la magnitud vectorial ,
igual al producto de la masa de una partícula por su velocidad.
El vector está dirigido en la dirección de la velocidad y con
el mismo sentido, es decir tangente a la trayectoria, pués la masa es
un escalar siempre positivo.

Se llama Impulso del Movimiento a la magnitud vectorial igual
al producto de la fuerza aplicada a la partícula (o bien a la
componente tangencial ) por el tiempo en que actúa:

Sea:

Suponiendo que es constante y de la misma dirección que
integrando:

(1)
Según la ecuación (1) el impulso es igual a la variación de la
cantidad de movimiento:

Unidades de Impulso
Unidad de = Unidad de x Unidad de tiempo
En el SI (MKS).
= =
En el sistema CGS:
= =
Unidades de Cantidad de Movimiento
Unidad de = Unidad de masa x Unidad de velocidad
En el SI (MKS):

En el sistema CGS:

Podemos verificar con este concepto el Principio de Inercia o Primer
Principio de Newton en la ecuación (1)

“Si no hay fuerza exterior, el móvil no cambia de velocidad (es un
MRU)
1.
PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
DE UNA PARTICULA
De las leyes de la Dinámica, del Segundo Principio o Ley Fundamental
de la Dinámica, se deduce que solamente las fuerzas pueden modificar
la cantidad de movimiento de un cuerpo:

Si
Entonces:
“Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza o la resultante de todas
las fuerzas (exteriores) que actúan es cero, la cantidad de movimiento
del cuerpo permanece constante”
2.
NECESIDAD DE INTRODUCIR LAS DOS CARACTERISTICAS DINÁMICAS:
CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y ENERGIA CINETICA,
La necesidad de introducir estas dos características dinámicas obedece
al hecho que una sola no es capaz de abarcar las múltiples
particularidades del movimiento de una partícula.
Por ejemplo:
Conociendo la cantidad de movimiento de un automóvil (no se d
an datos de masa ni de velocidad) y la fuerza que actúa sobre
él durante el frenado, se puede determinar el tiempo que tarda en
detenerse. Pero estos datos ( ) son insuficientes para hallar
el espacio recorrido durante el frenado. Por el contrario: conociendo
la Energía Cinética inicial puede determinarse el espacio recorrido
durante el frenado hasta detenerse, pero no el tiempo que le lleva al
móvil hacerlo
Problema:
A un cuerpo de masa m situado sobre un plano horizontal, que en un
punto tiene una
velocidad , se le aplica una fuerza (que puede ser la
de frenado) constante y de sentido contrario al movimiento.
Determinar:
a.
El tiempo que tarda en detenerse
b.
El espacio recorrido hasta que su velocidad es cero.
Solución:
a.
es el punto de la trayectoria donde se aplica
cuando = 0 . En ese punto el cuerpo tiene velocidad
y en la velocidad es igual a cero ya que
se detiene.
Sobre el cuerpo actúan las fuerzas (peso), (reacción
del plano) donde y la fuerza de frenado .
Se orienta al eje X en el sentido del movimiento y entonces tenemos
que el impulso es igual a la variación de la cantidad de movimiento.
(2)
Donde :
es la sumatoria de los impulsos I de las distintas
fuerzas
siendo tenemos (3) tiempo de
frenado
hallamos el tiempo de frenado en función del concepto de cantidad de
movimiento .
b.
Para determinar el espacio recorrido de frenado se utiliza el
Teorema de las Fuerzas Vivas (o relación de Trabajo y Energía
Cinética)
(4)
Espacio aplicando el concepto de Energía Cinética
De las fórmulas (3) y (4) se deduce que para una fuerza dada
el tiempo de frenado aumenta proporcionalmente a la velocidad inicial
y el camino o espacio de frenado aumenta
proporcionalmente al cuadrado de la velocidad inicial. Esta conclusión
es muy importante en la construcción de caminos.
Si fuera la fuerza de rozamiento, conociendo el coeficiente de
rozamiento cinético :

Entonces reemplazando en las ecuaciones (3) y (4) se tiene que:
y
3.
PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN
SISTEMA DE DOS PARTÍCULAS AISLADAS Y ELASTICAS
Sea un sistema aislado (donde solamente actúan fuerzas interiores al
sistema), formado por cuerpos de masas y de cuerpos
perfectamente elásticos.

Los cuerpos antes del choque tienen las velocidades y
respectivamente, en la misma dirección y de sentidos contrarios. Al
ponerse en contacto comienza el período de deformación hasta obtener
la máxima deformación y por ser perfectamente elásticos, sigue un
período de restitución total hasta separarse.
Durante el tiempo que se ponen en contacto y hasta que se separan se
generan dos impulsos iguales y contrarios (principio de acción y
reacción), las fuerzas que los originan son las ejercidas por un
cuerpo sobre el otro (al impulso que recibe A lo generan las fuerzas
que produce B y viceversa).

Esos impulsos separan las masas y haciéndolas adquirir
nuevas velocidades y respectivamente.
Veamos las fuerzas antes del choque :


Y durante el contacto los impulsos son:
actúa sobre
actúa sobre
Si los impulsos son iguales y de sentido contrario (principio de
acción y reacción) su suma será igual a cero:
=

= 0

Esta fórmula dice que la cantidad de movimiento del sistema aislado
formado por dos masas antes del choque es igual a la cantidad de
movimiento del sistema después del choque. También se puede decir que:
“La cantidad de movimiento de un sistema aislado permanece constante”.
PENDULO BALISTICO:

Como aplicación del principio anterior tenemos al péndulo balístico
que sirve para medir la velocidad de un proyectil. Aplicaremos los
principios de Conservación de la Energía Mecánica y de Conservación de
la Cantidad de Movimiento.
Sea una masa grande M de madera que está
suspendida como indica la figura .
Un proyectil de masa m , conocida, trae una
velocidad que queremos determinar.
Al llegar la bala, se incrusta en la masa M y,
por el impacto, ambas adquieren una velocidad
Ambas masas realizan un movimiento de traslación circular (donde
cualquier segmento se mantiene paralelo a sí mismo)y, cuando
alcanzan la altura h con respecto a la posición inicial, se detienen.
Entonces allí = 0 y aplicando el principio de conservación de
la cantidad de movimiento al momento del choque tenemos:
M) (5) antes y después del choque
Aplicando el Principio de Conservación de la Energía Mecánica, la
Energía Cinética máxima se convierte en Energía Potencial máxima, o
sea:
Recordando que la velocidad en caída de un cuerpo es:
y reemplazando en (5) el valor de tenemos:
y despreciando m en la suma (m+M) por su poca incidencia
(6) si podemos medir h tenemos la
velocidad buscada.
Pero como h es muy pequeña, tendremos un gran error en la medición y a
un pequeño error en la medición de h corresponderá un gran error en el
valor de Entonces hallaremos el valor de x de la figura, en
función de que en el triángulo rectángulo OCA , aplicando el teorema
de Pitágoras tendremos:
pero h2 es muy pequeño por lo que se desprecia


Reemplazando h en la fórmula (6)

es decir que, midiendo x tenemos la velocidad del proyectil.
También es:


Midiendo el ángulo también puedo obtener la velocidad del
proyectil .
4. PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA UN
SISTEMA DE MAS DE DOS PARTICULAS AISLADAS.
Si tenemos un sistema de partículas y la fuerza resultante sobre una
de ellas que ejercen las otras:

Podemos escribir que: (7) está escrito para un sistema de
partículas donde la masa total será M y la aceleración es la del
centro de masas o sea que

Siendo : velocidad del centro de masas
M: masa total del sistema
M. : cantidad de movimiento del sistema de partículas
Entonces por lo ya visto en centro de masas sabemos que:
(8)
siendo la cantidad de movimiento de la pésima partícula.
Por lo tanto la expresión (8) significa que: “La cantidad de
movimiento de un sistema de partículas es la SUMA de las cantidades de
movimiento de todas las partículas que lo forman”
La expresión (7) muestra que: “Si la sumatoria de las fuerzas
exteriores es cero, la cantidad de movimiento del sistema de
partículas permanece constante, independientemente de cómo sean las
fuerzas interiores”. Este enunciado es el Principio de Conservación de
la Cantidad de Movimiento aplicado a un sistema aislado de partículas.
La fórmula (7) puede escribirse así:
e integrando entre y entre
(9)
El primer miembro de esta igualdad es el impulso de las fuerzas
exteriores, así que la fórmula (9) expresa:
El impulso de las fuerzas exteriores es igual a la variación de la
cantidad de movimiento del sistema”.
(Otra forma de expresar el principio de conservación de la cantidad de
movimiento).
La cantidad de movimiento (9) queda expresada en sus componentes
ortogonales).



La conservación de la cantidad de movimiento no implica que también se
conserve la energía, puesto que las fuerzas interiores del sistema
pueden ser disipativas
5. COMENTARIOS SOBRE LA FORMULACION DEL PRINCIPIO DE MASA
Isaac Newton, para enunciar el segundo principio de la Mecánica,
comienza definiendo el impulso de una fuerza (como el producto de la
fuerza por el tiempo en que actúa) y la cantidad de movimiento de una
partícula (como el producto de su masa por la velocidad que posee en
cada instante). Ambas magnitudes son esencialmente del universo
exterior.
El segundo principio (principio de masa) los vincula diciendo:
“Cuando una fuerza actúa sobre una partícula, su impulso le produce
una variación de la cantidad de movimiento igual a él y en su
dirección y sentido”
En la forma actual de enunciar el segundo principio (principio de
masa): se vincula fuerza que es una magnitud del universo
exterior con la aceleración que es una magnitud definida en forma
arbitraria.
Esto no podría haberlo hecho Newton porque hubiera molestado a su
cabeza filosófica.
Esta forma moderna de expresar el segundo principio en términos de
fuerza y aceleración es mucho más cómoda para resolver problemas.
Ejercicio de ejemplo (utilizando la expresión de la cantidad de
movimiento en función de sus componentes ortogonales). :

Por una calle se desplaza un automóvil de 2 tn de peso con una
velocidad de 80 km/h y por otra, perpendicular a la primera, lo hace
un camión de 10 tn de peso, con una velocidad de 60 km/h. Los dos
chocan en una esquina cubierta de hielo (casi sin rozamiento) e
inscrustados, se desplazan hasta estrellarse contra una columna de
hormigón.
Calcular:
a) La velocidad después del choque
b) La fuerza media que hace la columna, si la deformación contra ella
dura 5 décimas de segundos.
Tomamos el eje de las x coincidiendo con el movimiento del camión y al
eje y coincidiendo con el movimiento del automóvil.
a) En el choque debido al hielo, no has fuerzas exteriores al sistema,
por lo que se conserva la cantidad de movimiento del sistema y las
componentes ortogonales de la expresión: serán:

donde son componentes de la velocidad después
del
choque
= = 50 km/h

= 51,75 km/h
v = 51,75 km/h = 15º
b) el impacto sobre la columna o fuerza media que hace la columna
vale:
donde fuerza media

F = -35,2 tn
6. CHOQUE
Generalidades:
Recibe el nombre de “choque” una colisión entre dos cuerpos que tiene
lugar en un intervalo muy pequeño, y durante el cual ambos cuerpos
ejercen entre sí fuerzas relativamente grandes .
P or lo menos, uno de los cuerpos
debe estar en movimiento.
LINEA DE CHOQUE:
La normal común a las dos
superficies de contacto, durante
el choque se denomina “línea de choque”
1.
2.
3.
6.1 CHOQUE CENTRAL:
Si los dos centros de masa de los cuerpos que colisionan se encuentran
sobre la línea de choque, se dice que el choque es CENTRAL. En
cualquier otro caso el choque se llama EXCÉNTRICO.Si las velocidades
de los cuerpos tienen la dirección de la línea de choque, se dice que
CHOQUE CENTRAL DIRECTO y si ambos, o alguno de los cuerpos se mueve a
lo largo de una dirección distinta de la línea de choque, se denomina
CHOQUE OBLICUO (en ambos choques , obviamente, los centros de masa
están sobre la línea de choque)

2.
CHOQUE CENTRAL DIRECTO.
1.

1.
Sean las partículas A y B, de masas mA y mB, moviéndose a lo
largo de la misma recta y hacia la derecha, con velocidades
.
Como la partícula A alcanzará a la B, chocarán y en el choque
ambas se deforman y al final de ese período de deformación ambas
tendrán la misma velocidad .
A continuación tiene lugar el período de recuperación, finalizado el
cual, según el módulo de las fuerzas de choque y los materiales de que
se trate, las partículas recuperaran su forma inicial o quedarán en
estado de deformación permanente.
Calculemos las velocidades después del choque y del período de
recuperación:
Consideremos en primer lugar al sistema de dos partículas como un
todo; las únicas fuerzas en juego son fuerzas internas al sistema y,
por lo tanto, se conserva la cantidad de movimiento (es un sistema
aislado):, con lo que:
ésta es una ecuación vectorial.
Como las velocidades que intervienen tienen la misma dirección y
sentido, se puede escribir como una ecuación escalar:

Al calcular, si obtenemos un valor positivo de o de
indicará que el sentido correspondiente al vector es hacia la derecha,
si el resultado obtenido es negativo, el sentido correspondiente al
vector es hacia la izquierda .
Pero tenemos una ecuación escalar con dos incógnitas, necesitamos otra
ecuación para resolver para ello consideremos el movimiento de
la partícula A durante el período de deformación y escribamos la
relación entre el impulso y la cantidad de movimiento.

ecuación vectorial donde es el impulso
sobre A ejercido por B
Como la percusión sobre A en este período es debida exclusivamente a
la fuerza P, ejercida por B, se puede establecer la siguiente relación
escalar
(1) donde la integral se extiende a todo el período de
deformación
Si se tiene en cuenta el movimiento de la partícula A durante el
período de recuperación, llamando R a la fuerza ejercida por B sobre
A, se tendrá:

(2) donde la integral se extiende a todo el período de
recuperación
En general, la fuerza (de recuperación de forma de B) que se
ejerce sobre A, es distinta de la fuerza P que se ejerce sobre A
durante el período de deformación (sería una “casualidad” que P= R y
por ende el impulso sea igual al impulso ) .
En general, el módulo de es MENOR que el módulo de ,

y la relación entre ambos módulos se conoce con el nombre de
coeficiente de restitución:
coeficiente de restitución donde
El valor de e depende fundamentalmente de los materiales de que se
trate, aunque e también varía con la velocidad del choque y con la
forma y tamaño de los cuerpos que chocan.
Si de las ecuaciones (1) y (2) despejamos las expresiones integrales
tenemos:



Haciendo el mismo análisis para la partícula B tenemos:
Período de Deformación:
Período de Recuperación

Encontramos otra expresión para el mismo e que hallamos usando A.
Aplicando la propiedad de los cocientes tenemos:

Donde : velocidad relativa después del choque.
velocidad relativa antes del choque
Ahora tenemos las dos ecuaciones para calcular


La deducción de estas fórmulas se ha hecho suponiendo que ambas
partículas se mueven en el mismo sentido inicial hacia la derecha, si
no ocurriera así, es decir si B se moviera hacia la izquierda al
escalar se lo debe considerar negativo y después del choque se
aplica el mismo convenio: es decir positivo, se mueve hacia la
derecha y negativo hacia la izquierda.
Resolviendo las ecuaciones:

=

Agrupando con respecto a y a tenemos:

Para hallar reemplazamos en el valor hallado de
:
multiplico y divido por
Desarrollando y simplificando queda:

CASOS EXTREMOS DE CHOQUE
A. CHOQUE INELASTICO: e = 0
Entonces:
no existe período de recuperación,
ambas
partículas siguen unidas después del choque y
Para este tipo de choque el valor de es:
Si y reemplazando:
=
Este valor de es para choques inelásticos pero también para
choques elásticos durante el período en que ambos cuerpos están unidos
(donde siempre ).
B. CHOQUE ELASTICO : e = 1
hay igualdad de velocidades relativas antes y después del
choque.
DETERMINACION EXPERIMENTAL DEL COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN

Si dejamos caer un cuerpo sobre una plataforma vinculada a la Tierra
desde una cierta altura, el cuerpo en realidad choca con la Tierra.
Como la masa de la Tierra es prácticamente infinita con relación a la
del cuerpo, la velocidad de la Tierra no variará por efectos del
choque y se considera entonces y a los efectos del choque que
= 0, entonces la expresión de e queda:
donde es la velocidad del cuerpo instantes
después del choque y es la velocidad del mismo antes del
choque.
La bolita que cae y la placa o plataforma puede ser de igual o
distinto material; y así obtenemos el valor de e para cada caso, ya
que:
y por lo tanto:

variando
Si a la expresión
la multiplicamos y dividimos por tenemos:


De esta última expresión se observa que la energía potencial disminuye
después del choque (como valor límite, para un choque absolutamente
elástico e = 1 y ) Si la es porque .
Si a la expresión
la elevamos al cuadrado y multiplicamos y dividimos por
tenemos:

Como su cuadrado es mucho menor que 1.
Por lo tanto la Energía Cinética disminuye después del choque (a lo
sumo es igual).
Otro método para hallar el coeficiente de restitución
D ejamos caer desde A, con una altura , una bolita
sobre un plano inclinado que forma un ángulo con la
horizontal.
Producido el rebote, vuelve a producirse un ángulo con la
normal al plano (ángulo de incidencia = ángulo de reflexión)
y un ángulo con respecto a la horizontal, siendo:
y con una cierta al rebotar.
Después del rebote, la bolita llega a una distancia L (alcance) sobre
el plano horizontal, dada por la expresión:

midiendo L tenemos y la altura máxima que alcanzará la bolita
al rebotar será:
altura máxima en tiro oblicuo para un ángulo
Si el ángulo fuera de 90º, esta altura máxima sería la
del método anterior, donde la bolita caía y rebotaba verticalmente (
) por lo tanto para
ya que y reemplazando

y
es decir que midiendo L (como h1 y son conocidos) obtenemos e
CHOQUE CENTRAL OBLÍCUO
Este tipo de choque se produce cuando las velocidades de las dos
partículas que entran en colisión no están dirigidas según la línea de
choque.

No conocemos en este caso los módulos y direcciones de las velocidades
después del choque, para su determinación se hace necesario el
empleo de cuatro ecuaciones linealmente independientes.
Elegimos los ejes x e y como muestra la figura.
Si las partículas están perfectamente pulidas y no existen
rozamientos, las únicas fuerzas impulsivas que actúan durante el
choque son interiores al sistema y dirigidas según el eje x, se puede
decir entonces que:
1.
Se conserva la componente en “y” de la cantidad de movimiento de
la partícula A
2.
Se conserva la componente en “y” de la cantidad de movimiento de
la partícula B
3.
Se conserva la componente en “x” de la cantidad de movimiento del
sistema
4.
La componente “x” de la velocidad relativa de las dos partículas
después del choque es igual al producto de la componente en x de
la velocidad relativa antes del choque por el coeficiente de
restitución.
De este análisis se deducen las cuatro ecuaciones linealmente
independientes para hallar .
Ejemplo:
El choque de dos esferas de igual masa “m” tiene lugar a las
velocidades indicadas.
Suponiendo un coeficiente de restitución e = 0,90 calcular el módulo,
dirección y sentido de la velocidad de cada esfera después del choque.
Solución:
Las fuerzas que actúan sobre las esferas durante la colisión tienen
por dirección y apoyo la recta que los G, llamada línea de choque:
Podemos escribir:
30 .0,866 = 26 m/seg
= 30 .0,50 = 15 m/seg
= -40 . 0,50 = -20 m/seg
= 40 . 0,866 = 34,6 m/seg
Hacemos un esquema de las dos partículas:

En el primer término de la igualdad se indican las cantidades de
movimiento iniciales más las percusiones y en el segundo término las
cantidades de movimiento finales.
Veamos primero el movimiento perpendicular a la línea de choque:
Considerando únicamente las componentes “y” se escribe la relación
entre el impulso y la cantidad de movimiento para cada esfera
independientemente ( ) como las percusiones tienen
dirección x únicamente (Fy = 0) la componente vertical de la cantidad
de movimiento ( ) y por lo tanto la componente vertical de la
velocidad de cada esfera no varíe (ya que la masa es constante)
y también
Ahora veamos el movimiento paralelo a la línea de choque
En la dirección del eje x consideramos a las dos esferas como un
sistema aislado, según el principio de acción y reacción, las
percusiones interiores ( ) se anulan y aplicando el principio
de conservación de la cantidad de movimiento:
si las masas son iguales

= = 6 m/seg (A)
y utilizando el coeficiente restitución:

= 0,9 (26 – (-20)) = 41,4 m/seg = 41,4 m/seg (B)
Resolviendo (A) y (B) tenemos:
y en (B)

y
y el movimiento resultante es:




:
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