Enrico Manfucci 2° Anno SSIS Siena – Aa

enrico manfucci 2° anno ssis siena – a.a . 2004/5 indirizzo fim – fisico informatico matematico indice

Enrico Manfucci
2° anno SSIS Siena – a.a . 2004/5
Indirizzo FIM – Fisico Informatico Matematico
INDICE
======
INDICE 2
COLLOCAZIONE CURRICULARE 3
PREREQUISITI 3
OBIETTIVI 3
METODOLOGIA 3
TEMPI 3
RICHIAMI SUL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ 4
IL VALOR MEDIO, LA VARIANZA E LO SCARTO QUADRATICO MEDIO DI UNA
VARIABILE CASUALE DISCRETA 10
Il Valor Medio 10
La Varianza e lo Scarto Quadratico Medio 12
IL CRITERIO DEL VALOR MEDIO 16
IL CRITERIO DELLA VALUTAZIONE DEL RISCHIO 21
IL CRITERIO DEL PESSIMISTA E DELL’OTTIMISTA 23
Criterio del Pessimista (o del maximin / minimax) 23
Criterio dell’ Ottimista (o del maximax / minimin) 24
VERIFICA 25
BIBLIOGRAFIA 30
SOFTWARE UTILIZZATO 30
COLLOCAZIONE CURRICULARE
========================
Istituto Tecnico Commerciale – Classe Sirio
PREREQUISITI
============
*
La Funzione
*
Calcolo delle Probabilità
*
Problemi di scelta in condizioni di certezza, la funzione
obiettivo
OBIETTIVI
=========
*
Saper calcolare il Valor Medio, la Varianza, lo Scarto Quadratico
Medio di una variabile casuale discreta
*
Saper risolvere problemi di scelta in condizioni di incertezza
con:
*
Il Criterio del Valor Medio
*
Il Criterio della Valutazione del Rischio
METODOLOGIA
===========
Si fa uso del “problem solving” per la risoluzione di esercizi che
conducono a problemi di scelta in condizioni di incertezza. Gli
argomenti vengono trattati alternando lezioni frontali con lezioni
dialogate.
TEMPI
=====
L’unità didattica è stata eseguita nell’arco di tempo dal 18/1/2005 al
25/2/2005 con una settimana d’interruzione a causa della chiusura
della scuola, per un totale di 10 lezioni di 1 ora ciascuna.
RICHIAMI SUL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
======================================
Osservazione: sebbene il Calcolo delle Probabilità sia un
prerequisito, i seguenti esempi sono stati proposti ed eseguiti in
classe con gli adulti al fine di consolidare gli argomenti che
venivano trattati. In particolare, data la disomogeneità delle loro
conoscenze pregresse sull’argomento, ho preferito circoscrivere gli
argomenti di calcolo delle probabilità a quelli che sarebbero serviti
nella trattazione seguente. Quindi, se da una lato l’argomentazione
non è stata completa, i concetti esposti sono stati tuttavia eseguiti
con particolare cura ed attenzione.
Nell’ambito del modello classico del Calcolo delle Probabilità
definiamo la Probabilità di un evento E p(E) il rapporto tra il numero
di casi favorevoli f e il numero di casi possbili n:

Per chiarire il concetto facciamo alcuni esempi.
E

sempio 1: calcolare la probabilità che esca il numero 5 dal lancio di
un dado.
Evento E: uscita del numero 5 dal lancio di un dado.
Casi favorevoli: f = 1 (il 5 è presente su una sola faccia del dado)
Casi possibili: n = 6 (le facce del dado, e quindi i casi possibili,
sono 6)
Si ha dunque
E

sempio 2: calcolare la probabilità di estrarre un asso da un mazzo di
40 carte
Evento E: estrazione di un asso da un mazzo di 40.
Casi favorevoli: f = 4 (in un mazzo ci sono 4 assi, uno per ciascun
seme)
Casi possibili: n = 40 (numero totale di carte presenti nel mazzo)
Si ha dunque
Osservazione: la probabilità di un evento è sempre compresa tra 0 e 1,
perché ?

Il motivo discende direttamente dalla definizione.
I casi favorevoli f possono variare infatti tra 0 ed n, che sono tutti
i casi possibili.
A) Nel caso in cui f = 0 si ha: (per )
Esempio 3: calcolare la probabilità di estrarre il numero 95 dal gioco
della tombola.
Evento E: estrazione del numero 95 dal sacchetto dei numeri della
tombola.
Casi favorevoli: f = 0 (non c’è alcun numero 95 tra i numeri della
tombola, che vanno dal numero 1 al numero 90)
Casi possibili: n = 90 (numero totale dei numeri della tombola)
Si ha dunque
Nel caso in cui la probabilità dell’evento E sia 0, come nel nostro
esempio, l’evento si dice impossibile.
B) Nel caso in cui f = n si ha: (per )
E

sempio 4: calcolare la probabilità che esca un numero compreso tra 0 e
36 nella roulette francese.
Evento E: uscita di un numero compreso tra 0 e 36 nella roulette
francese.
Casi favorevoli: f = 37
Casi possibili: n = 37
Si ha dunque
Nel caso in cui la probabilità dell’evento E sia 1, come nel nostro
esempio, l’evento si dice certo.
Forniamo infine due definizioni che ci serviranno nella trattazione
del nostro argomento.
Eventi Incompatibili
n eventi di dicono incompatibili, se il verificarsi di ciascuno
esclude il verificarsi degli altri.
Esempio 5: Lancio di un dado
Evento E1: uscita di un numero pari (2, 4, 6)
Evento E2: uscita di un numero dispari (1, 3, 5)
Nel lancio di un dado l’uscita di un numero pari (Evento E1) esclude
l’uscita di un numero dispari (Eventi E2) e viceversa
Esempio 6: Estrazione da un mazzo di 40 carte
E1: estrazione di una carta di quadri
E2: estrazione di una carta di cuori
E3: estrazione di una carta di fiori
In un mazzo di carte l’estrazione di una carta di quadri (E1) esclude
che tale carta sia di cuori (E2) o di fiori (E3)
Eventi Compatibili
n eventi si dicono compatibili quando il verificarsi di uno non
esclude il verificarsi degli altri (cioè quando non sono
incompatibili).
Esempio 7: supponiamo di avere un sacchetto di 20 palline colorate e
di materiali diversi secondo la seguente descrizione:
3 palline rosse di vetro



4 palline blu di vetro




8 palline verdi di vetro








3 palline rosse di plastica



2 palline gialle di plastica


Consideriamo gli eventi:
E1: estrazione di una pallina rossa
E2: estrazione di una pallina di plastica
E3: estrazione di una pallina rossa di vetro
*
Gli eventi E1 e E2 sono compatibili perché estrarre una pallina
rossa (evento E1) non esclude il fatto che tale pallina sia di
plastica (evento E2) – esistono infatti 3 palline che sono sia
rosse che di plastica.
*
Gli eventi E1 e E3 sono ancora compatibili, perché estrarre una
pallina rossa (E1) non esclude il fatto che tale pallina sia rossa
e di vetro; in questo caso, in particolare, ogni volta che si
verifica l’evento E1 si verifica anche l’evento E3 (non è vero il
viceversa, perché?)
*
Gli eventi E2 e E3 sono invece incompatibili perché se estraggo
una pallina di plastica (E2), sicuramente non sarà rossa di vetro
(E3) e viceversa.
Eventi complementari:
n eventi si discono complementari se, dette le rispettive
probabilità, si ha:
, cioè
Nell’Esempio 5 gli eventi E1 e E2 sono complementari, infatti:
da cui
Nell’Esempio 6 gli eventi E1, E2, E3 non sono complementari, infatti:

da cui
(Per rendere gli eventi complementari dovrei aggiungere l’evento E4:
estrazione di una carta di picche)
Esempio 8: Nella roulette francese
E1: uscita dello 0
E2: uscita di un numero rosso
E3: uscita di un numero nero

da cui
In questo caso gli eventi E1, E2, E3 sono complementari
LA VARIABILE DISCRETA E LA DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ
Osservazione: nel trattare gli argomenti seguenti ho scelto la
metodologia di introdurre le definizioni fornendo agli adulti prima un
esempio pratico. L’utilizzo di ulteriori esempi è servito a
consolidare la costruzione dei concetti.
Riprendiamo l’esempio 8 del paragrafo precedente ed attribuiamo delle
vincite o perdite in euro in corrispondenza dei vari eventi (valori
associati agli eventi):
Si suppone di puntare € 1 sul rosso
E1: uscita dello 0  v1: perdita di € 1
E2: uscita di un numero rosso  v2: guadagno di € 1 (2 volte la posta
giocata
meno € 1 giocato)
E3: uscita di un numero nero  v3: perdita di € 1
In generale diremo che la funzione che associa agli eventi
incompatibili e complementari E1, E2,…, En i valori v1, v2,…, vn si
chiama Variabile Casuale o Aleatoria Discreta V.
La funzione che associa i valori degli eventi con le relative
probabilità viene detta Distribuzione di Probabilità di V.
Nel nostro esempio avremo:
V
-1
1
-1
P
1/37
36/37
36/37
Esempio 9:
Quattro amici giocano con un mazzo di 40 carte. Il primo vince € 10 se
esce un re, il secondo € 40 se esce una regina di cuori, il terzo € 20
se esce un asso rosso e il quarto € 1 se esce una carta qualsiasi
diversa dalle precedenti.
Formalizziamo il problema:
Eventi
Valori
Probabilità
E1: esce un re
€ 10
4/40
E2: esce la regina di cuori
€ 40
1/40
E3: esce un asso rosso
€ 20
2/40
E4: esce una carta qualsiasi diversa dalle precedenti
€ 1
33/40
Osservazione: si noti che gli eventi sono incompatibili e
complementari (somma delle probabilità=1).
La variabile casuale che rappresenta la vincita è la funzione che
associa agli eventi i rispettivi valori:
E
Esce un re
Esce la regina di cuori
Esce un asso rosso
Esce una carta qualsiasi diversa dalle precedenti
V
10
40
20
1
La distribuzione di probabilità è la funzione che associa ai valori le
probabilità di verificarsi dei rispettivi eventi:
V
10
40
20
1
P
4/40
1/40
2/40
33/40
IL VALOR MEDIO, LA VARIANZA E LO SCARTO QUADRATICO MEDIO DI UNA
VARIABILE CASUALE DISCRETA
===============================================================
Nel caso degli esempi dei paragrafi precedenti abbiamo riportato
situazioni relative a alcuni giochi: i dadi, un mazzo di carte, la
roulette. In questi casi, ma anche e soprattutto negli esempi che
faremo nel seguito relativi a problemi di scelta di strategie
produttive o di vendita, ci sono utili dei valori numerici che
“riassumono” alcuni aspetti della distribuzione di probabilità di una
variabile casuale.
Nei giochi, ad esempio, nasce la necessità di sapere se essi siano
convenienti, una volta che decido di puntare dei soldi, e quanto siano
convenienti.
Il Valor Medio
--------------
P rendiamo il gioco della roulette francese e simuliamo una
puntata su un numero, ad esempio il 25. Supponiamo di puntare € 1 su
tale numero. Le situazioni che possono presentarsi una volta che la
pallina si è fermata sono queste:
Situazione 1 (quella favorevole): la pallina si è fermata sul numero
25
Situazione 2 (quella sfavorevole): la pallina si è fermata su un
numero diverso dal 25.
Se accade la situazione 1 vinco 36 volte la posta, ma il guadagno è di
€ 35, in quanto € 1 è quello che ho giocato.
Se accede la situazione 2 perdo quello che ho puntato, cioè € 1.
Chiaramente la vincita, nella situazione 1 è molto più alta della
perdita nella situazione 2, ma è anche vero che la probabilità che si
verifichi la situazione 1 è molto più bassa rispetto alla probabilità
che si verifichi la situazione 2. Poiché i numeri della roulette
francese sono 37, si può calcolare facilmente la probabilità che
accada la situazione 1: 1/37, mentre la probabilità che accada la
situazione 2 è 36/37.
Intuitivamente si vede che la vincita, € 35, rappresenta un numero più
piccolo delle probabilità di verificarsi un evento sfavorevole 36,
quindi potremmo concludere che il gioco, seppur di poco, è
sfavorevole. Ribadiamo il fatto che questo è un ragionamento di tipo
intuitivo; adesso dobbiamo dare un senso matematico a quanto detto.
Definiamo Valor Medio di una variabile casuale discreta V la somma:

cioè la somma dei prodotti dei valori assunti dalla variabile V per le
rispettive probabilità.
Calcoliamo adesso il valor medio della variabile V che descrive il
nostro esempio:
Evento 0: uscita del numero 0 v0: perdita di € 1 p0: 1/37
Evento 1: uscita del numero 1 v1: perdita di € 1 p1: 1/37
…
Evento 25: uscita del numero 25 v25: vincita di € 35 p25: 1/37
…
Evento 36: uscita del numero 36 v36: perdita di € 1 p23: 1/37
Osservazione: le perdite verranno indicate come numeri negativi.
La distribuzione di probabilità sarà dunque:
v0
v1
…
v25
…
v36
V
-1
-1
…
35
…
-1
P
1/37
1/37
…
1/37
…
1/37
Possiamo adesso calcolare il Valor Medio:
M(V)=v1*p1+v2*p2+…+v25*p25+…+v36*p36=
=(-1)*1/37+(-1)*1/37+…+35*1/37+…+(-1)*1/37=
=-36/37+35/37=-1/37 -0,027
Abbiamo ottenuto un valore negativo: M(V) -0,027
Valori negativi del Valor Medio si traducono in giochi non
convenienti, mentre valori positivi in giochi convenienti. Tanto
maggiore è il suo valore assoluto tanto maggiore è la convenienza/non
convenienza del gioco.
In definitiva possiamo concludere che il gioco della roulette francese
è un gioco non conveniente, seppur di poco !
E

sempio 10:
Supponiamo di lanciare una moneta in aria e vedere se ricadendo esce
Testa o Croce. Puntiamo € 1 se esce Testa, ovviamente se esce Croce
perdiamo € 1.
In questo caso abbiamo, se la moneta è ben bilanciata:
Evento 1: Testa v1: vincita di € 1 p1: 1/2
Evento 2: Croce v2: perdita di € 1 p1: 1/2
V
1
-1
P
1/2
1/2
Possiamo adesso calcolare il Valor Medio:
M(V)=1*1/2+(-1)*1/2=0
Abbiamo ottenuto un valore del Valor Medio uguale a 0, cioè il gioco
non è né conveniente né sconveniente; in questo caso si dice equo.
La Varianza e lo Scarto Quadratico Medio
----------------------------------------
Facciamo due esperimenti con il lancio di un dado e descriviamo i
risultati con due variabili casuali V1 e V2. In ogni esperimento
lanciamo 5 volte il dado. Rappresentiamo i valori ottenuti per mezzo
delle distribuzioni di probabilità:
V1
3
4
4
5
4
P
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6

V2
6
3
5
2
4
P
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6

Si nota subito che nella prima tabella i valori ottenuti nei lanci
hanno una distribuzione diversa rispetto a quelli della seconda
tabella, in particolare sono più “raccolti” intorno ad un valore
centrale che è il 4. Nella seconda tabella i valori sono più
“dispersi”. Come faccio a descrivere quantitativamente questo aspetto
qualitativo?
Proviamo a calcolare il valor medio per le due variabili casuali:
M(V1)=3*1/6+4*1/6+4*1/6+5*1/6+4*1/6=20/6=10/3
M(V2)=6*1/6+3*1/6+5*1/6+2*1/6+4*1/6=20/6=10/3
Ottengo il solito valor medio. Dunque questo non mi descrive ciò che
volevo.
Il valor medio, tuttavia è il punto di partenza per ciò che vogliamo
trovare. Eseguiamo il procedimento per la variabile casuale V1 e poi
per la V2.
Per prima cosa troviamo gli scarti dal valor medio, che rappresentano
di quanto i singoli valori si discostano dal volor medio:
v1-M(V1)=3-10/3=-1/3
v2-M(V1)=4-10/3=2/3
v3-M(V1)=4-10/3=2/3
v4-M(V1)=5-10/3=5/3
v5-M(V1)=4-10/3=2/3
Si eleva alla seconda ogni scarto dal valor medio:





I risultati così ottenuti si moltiplicano per le rispettive
probabilità e si sommano:
(1/9*1/6)+(4/9*1/6)+(4/9*1/6)+(25/9*1/6)+(4/9*1/6)=
=1/54+4/54+4/54+25/54+4/54=38/54 0,7037
Ciò che abbiamo ottenuto è la varianza della variabile V1.
Facendo lo stesso procedimento per la variabile casuale V2 otteniamo
il valore: 2,037
Osservazione: si nota subito che il numero che abbiamo ottenuto per la
variabile V1 è più piccolo di quello ottenuto per V2. Ciò indica
proprio l’aspetto discusso all’inizio, cioè la prima distribuzione di
probabilità ha dati più raccolti attorno al valor medio, la seconda ha
dati più dispersi.
Possiamo adesso definire la Varianza di una variabile casuale discreta
V come il valor medio della variabile casuale , cioé

Abbiamo visto come la varianza misuri la variabilità di una
distribuzione di probabilità intorno al suo valor medio. Ha tuttavia
lo svantaggio di non essere nella stessa unità di misura dei dati di
partenza. Per ovviare a questo si introduce lo Scarto Quadratico Medio
che non è altro che la radice quadrata della varianza e che finalmente
misura la variabilità nella stessa unità di misura dei dati di
partenza:

Nel nostro esempio abbiamo:


Esempio 11:
Un barista prevede di servire in una giornata un certo numero di
caffè, secondo la seguente distribuzione di probabilità:
V
30
50
100
120
140
170
P
0,04
0,12
0,25
0,35
0,20
0,04
Applicando la formula del Valor Medio otteniamo: M(V)=109. Questo
significa che in media prevede di vendere 109 caffè al giorno.
La varianza è:
Poiché questo valore non è confrontabile con i dati precedenti,
calcoliamo lo scarto quadratico medio:
Il valore che abbiamo ottenuto è dello stesso ordine che misura il
grado di variabilità della variabile V, cioè indica che la vendita dei
caffè si discosta in più o in meno di circa 33 caffè dalla media di
109 caffè.
IL CRITERIO DEL VALOR MEDIO
===========================
Tale criterio nasce dall’esigenza di valutare quale sia l’alternativa
migliore, ad esempio di una produzione di un certo prodotto per
un’azienda, quando non si hanno dati certi sulle future vendite, ma si
possono fare solo previsioni probabilistiche.
P rendiamo una grande azienda produttrice di hardware che
decide di fare un piano di investimento per il 2005 per la produzione
di un certo modello di stampante. Sulla base delle vendite dei due
anni precedenti, 2004 e 2003, vengono assegnate delle probabilità di
vendita ai seguenti stock di produzione:
Numero stampanti vendute
50000
100000
150000
200000
Probabilità
0,10
0,15
0,55
0,20
L’azienda utilizza tre linee produttive per la realizzazione delle
stampanti che hanno costi di produzione diversi:
Linea A: costo di ogni stampante € 20 più costi fissi € 400000
Linea B: costo di ogni stampante € 28 più costi fissi € 300000
Linea C: costo di ogni stampante € 18 più costi fissi € 510000
Il problema per l’azienda è quello di scegliere qual è l’alternativa
migliore fra le tre al fine di realizzare il massimo guadagno, sapendo
che venderà ogni stampante a € 49.
Formalizziamo il problema da un punto di vista matematico, sfruttando
le conoscenze fin qui acquisite.
Evento1: vendita di 50000 stampanti
probabilità1: 0,10
Evento2: vendita di 100000 stampanti
probabilità2: 0,15
Evento3: vendita di 150000 stampanti
probabilità3: 0,55
Evento4: vendita di 200000 stampanti
probabilità4: 0,20
Le tre linee produttive daranno luogo a tre funzioni obiettivo
distinte che ci permetteranno di calcolare i valori associati ad ogni
evento. Ricordiamo che la funzione obiettivo (guadagno) è uguale alla
differenza tra la funzione Ricavo e la funzione Costo: G(x)=R(x)-C(x),
dove la x, nel nostro caso, rappresenta il numero di stampanti.
Variabile Casuale A:
G(50000)=R(50000)-C(50000)=50000*49-(50000*20+400000)=1050000 €
G(100000)=2500000 €
G(150000)=3950000 €
G(200000)=5400000 €
Variabile Casuale B:
G(50000)=R(50000)-C(50000)=50000*49-(50000*28+300000)=750000 €
G(100000)=1800000 €
G(150000)=2850000 €
G(200000)=3900000 €
Variabile Casuale C:
G(50000)=R(50000)-C(50000)=50000*49-(50000*18+510000)=1040000 €
G(100000)=2590000 €
G(150000)=4140000 €
G(200000)=5690000 €
Adesso possiamo costruire la tabella con le distribuzioni di
probabilità delle tre variabili casuali discrete A, B, C:
Eventi
A
B
C
Probabilità
Evento1: vendita di 50000 stampanti
1050000
750000
1040000
probabilità1: 0,10
Evento2: vendita di 100000 stampanti
2500000
1800000
2590000
probabilità2: 0,15
Evento3: vendita di 150000 stampanti
3950000
2850000
4140000
probabilità3: 0,55
Evento4: vendita di 200000 stampanti
5400000
3900000
5690000
probabilità4: 0,20
Calcoliamo adesso il Valor Medio di ogni variabile casuale ed
aggiungiamolo in una riga in fondo alla tabella:
M(A)=1050000*0,1+2500000*0,15+3950000*0,55+5400000*0,2=3732500
M(B)=750000*0,1+1800000*0,15+2850000*0,55+3900000*0,2=2692500
M(C)=1040000*0,1+2590000*0,15+4140000*0,55+5690000*0,2=3907500

Eventi
A
B
C
Probabilità
Evento1: vendita di 50000 stampanti
1050000
750000
1040000
probabilità1: 0,10
Evento2: vendita di 100000 stampanti
2500000
1800000
2590000
probabilità2: 0,15
Evento3: vendita di 150000 stampanti
3950000
2850000
4140000
probabilità3: 0,55
Evento4: vendita di 200000 stampanti
5400000
3900000
5690000
probabilità4: 0,20
Valor Medio
3732500
2692500
3907500
L’alternativa di produzione rappresentata dalla variabile casuale C
realizza il massimo guadagno, in quanto abbiamo ottenuto il più alto
valor medio fra le tre.
Osservazioni:
1.
Se avessimo parlato di costi, invece che di guadagni, avremmo
dovuto scegliere l’alternativa che realizzava il minor valor
medio. Questo implica, ovviamente, un minor costo di produzione o
gestione e quindi preferibile per l’azienda.
2.
Nel nostro esempio l’alternativa B ha valori, per ogni evento,
minori degli altri (es: 750000<105000 e 750000<104000). In questo
caso l’alternativa B si dice dominata dalle altre. E’ quindi
superfluo calcolare il valor medio per questa alternativa, in
quanto sappiamo in anticipo, poiché le probabilità sono le stesse,
che verrà minore degli altri; in caso di guadagni scartiamo subito
questa alternativa e scegliamo fra le restanti quella con valor
medio maggiore; in caso di costo la scegliamo subito senza dover
calcolare alcun valor medio. Se invece avessimo avuto una
alternativa in cui, per ogni evento, i valori fossero stati
maggiori degli altri, allora tale alternativa si dice dominante le
altre. Specularmente a quanto detto prima, in caso di guadagni la
scegliamo subito, senza calcolare alcun valor medio, in caso di
costi va eliminata subito e scelto il minore tra i valor medi
restanti.
Esempio 12:
una ditta che produce solventi per vernici, intende vendere i suoi
prodotti a € 2 per ogni barattolo. Per la produzione dei barattoli può
seguire due lavorazioni che hanno i seguenti costi:
L1: € 1,7 per barattolo più un costo fisso di € 520
L2: € 1 per barattolo diminuito di un importo fisso in € pari allo
0,04% del quadrato del numero di barattoli prodotti
La previsione di vendita ha la seguente distribuzione di probabilità.
Numero barattoli venduti
200
400
600
800
1000
Probabilità
0,15
0,20
0,25
0,28
0,12
Ci si domanda quale sia la lavorazione da scegliere , utilizzando il
criterio del Valor Medio, al fine di ottenere il massimo guadagno.
Per prima cosa dobbiamo calcolare la funzione obiettivo per le due
alternative e per far questo ci serve la funzione ricavo e la funzione
costo (indichiamo con x il numero di barattoli):
La funzione ricavo è: R(x)=2x
La funzione costo dipende dalla lavorazione:
L1:
L2:
La funzione obiettivo è, per le due alternative:
L1: G1(x)=R(x)-C1(x)
L2: G2(x)=R(x)-C2(x)
Impostiamo allora la tabella in cui aggiungiamo una riga finale con il
Valor Medio delle due alternative:

Eventi
L1
L2
Probabilità
Evento1: vendita di 200 barattoli
- 460
216
probabilità1: 0,15
Evento2: vendita di 400 barattoli
- 400
464
probabilità2: 0,20
Evento3: vendita di 600 barattoli
- 340
744
probabilità3: 0,25
Evento4: vendita di 800 barattoli
- 260
1056
probabilità4: 0,28
Evento5: vendita di 1000 barattoli
- 220
1400
probabilità5: 0,12
Valor Medio
- 333,2
774,88
Poiché l’alternativa L2 ha Valor Medio maggiore è quella da preferire.
Si noti come l’alternativa L1 conduca sempre ad una costo,
indipendentemente dal numero dei barattoli venduti. Inoltre potevamo
scegliere subito l’alternativa L2, in quanto la L1 è dominata.
Esempio 13:
Tre costi di gestione aleatori A, B, C, dipendenti dal verificarsi
degli eventi E1, E2, E3, E4, E5, con le rispettive probabilità, sono
espressi in € nella tabella riportata sotto. Si chiede di stabilire
l’alternativa più conveniente utilizzando il criterio del Valor Medio.
Per ogni alternativa si calcola il Valor Medio e si riporta
nell’ultima riga:

Eventi
A
B
C
Probabilità
E1
- 58
- 100
- 90
P1: 0,15
E2
142
140
170
P2: 0,20
E3
342
380
430
P3: 0,25
E4
542
620
690
P4: 0,28
E5
742
860
950
P5: 0,12
Valor Medio
346
384,8
435,2
L’alternativa A è la migliore in quanto, trattandosi di costi, ha il
Valor Medio minore
IL CRITERIO DELLA VALUTAZIONE DEL RISCHIO
=========================================
Nel criterio del valor medio non si tiene conto della variabilità dei
dati. Tenendo conto che una maggiore variabilità dei dati corrisponde
ad una maggiore rischiosità della scelta, l’operatore che compie la
scelta ne può escludere alcune perché troppo rischiose. La misura
della propensione al rischio è soggettiva per la persona ed è misurata
dall’indice di propensione al rischio: M/n. M è il Valor Medio della
variabile casuale che descrive l’alternativa ed . In
particolare :
per n=1 si ha M/n=M e denota un’alta propensione al rischio
per si ha e denota una bassa propensione al rischio
La scelta di n è, come abbiamo già detto, soggettiva per la persona
che opera la decisione.
Poiché in una variabile casuale la variabilità del dato è quantificata
dalla varianza e in particolare dallo scarto quadratico medio, vediamo
come mettere in relazione quest’ultimo con l’indice di propensione al
rischio.
Riprendiamo l’esempio del paragrafo precedente relativo alla ditta
produttrice di hardware. Calcoliamo per ciascuna alternativa lo scarto
quadratico medio:



e riportiamo i valori ottenuti nella tabella.
Supponiamo di avere un indice di propensione al rischio di M/3.

Eventi
A
B
C
Probabilità
Evento1: vendita di 50000 stampanti
1050000
750000
1040000
probabilità1: 0,10
Evento2: vendita di 100000 stampanti
2500000
1800000
2590000
probabilità2: 0,15
Evento3: vendita di 150000 stampanti
3950000
2850000
4140000
probabilità3: 0,55
Evento4: vendita di 200000 stampanti
5400000
3900000
5690000
probabilità4: 0,20
Valor Medio M
3732500
2692500
3907500
Scarto Quadratico Medio
1236757
895582
1322050
Indice di propensione al rischio M/3
1244167
897500
1302500
In questo caso la scelta va operata fra le alternative che verificano
la condizione: , ovvero quelle per cui lo scarto quadratico
medio è minore o uguale a all’indice di propensione al rischio, cioè a
quanto l’operatore è disposto a rischiare. L’alternativa C va allora
scartata poichè (1323050>1302500).
Tra le alternative A e B si sceglie allora la A in quanto ha Valor
Medio maggiore e quindi realizza il maggior guadagno.
Esempio 14:
Nella tabella sottostante sono riportati i guadagni relativi a tre
diverse alternative di vendita A, B, C, che si possono realizzare al
verificarsi degli eventi E1, E2, E3, E4, E5, con le rispettive
probabilità p1, p2, p3, p4, p5.
Vogliamo determinare quale è l’alternativa migliore sapendo che chi
compie la scelta è disposto a correre un rischio pari all’80% del
valor medio.

Eventi
A
B
C
Probabilità
E1
-1
-8
3
p1: 0,21
E2
-3
-2
9
p2: 0,06
E3
12
6
12
p3: 0,15
E4
13
12
15
p4: 0,3
E5
15
16
18
p5: 0,28
Valor Medio M
9,51
7,18
12,51
Scarto Quadratico Medio
6,75
9,07
5,48
Indice di propensione al rischio M*80/100
7,6
5,74
10
Nella terzultima riga della tabella calcoliamo il Valor Medio di ogni
alternativa, nella penultima lo scarto quadratico medio e nell’ultima
l’indice di propensione al rischio.
Poiché l’alternativa B ha uno scarto quadratico medio maggiore
dell’indice di propensione al rischio, cioè i dati sono più variabili
di quanto si è disposti a rischiare, si esclude dalla scelta.
Rimangono le alternative A e C; tra queste due, trattandosi di
guadagno, si sceglie la C in quanto ha Valor Medio maggiore.
IL CRITERIO DEL PESSIMISTA E DELL’OTTIMISTA
===========================================
Osservazione:
il seguente criterio è stato trattato in classe in modo rapido e senza
gli opportuni approfondimenti a causa della scarsa disponibilità di
tempo rimasto per eseguire l’unita didattica. Tuttavia mi sembrava
corretto accennarlo per fornire un quadro più completo dell’argomento.
Fino ad ora abbiamo considerato problemi di scelta in cui si teneva
conto delle probabilità del verificarsi degli eventi. Si può tuttavia
operare delle scelte anche se non si conoscono le probabilità o non se
ne vuole tenere conto. I due criteri che analizzeremo hanno proprio
questa peculiarità.
Criterio del Pessimista (o del maximin / minimax)
-------------------------------------------------
Caso del guadagno (maximin): riprendiamo l’esempio dell’azienda
produttrice di hardware relativo alla vendita di stampanti. Scegliamo,
per ogni alternativa, il guadagno minore e fra questi il maggiore;
l’alternativa contenente questo valore sarà quella preferita (nel
nostro caso la A)

E venti
A
B
C
Evento1: vendita di 50000 stampanti
1050000
750000
1040000
Evento2: vendita di 100000 stampanti
2500000
1800000
2590000
Evento3: vendita di 150000 stampanti
3950000
2850000
4140000
Evento4: vendita di 200000 stampanti
5400000
3900000
5690000
Caso del costo (minimax): se la tabella avesse rappresentato dei costi
avremmo scelto i valori massimi per ogni alternativa e tra questi il
minore:
Alternativa A: 5400000
Alternativa B: 3900000
Alternativa C: 5690000
Poiché l’alternativa B ha valore minore degli altri sarebbe stata
quella scelta.
Criterio dell’ Ottimista (o del maximax / minimin)
--------------------------------------------------
Caso del guadagno (maximax): prendiamo il solito esempio. In questo
caso scegliamo l’alternativa che contiene il massimo tra i valori
massimi:

Eventi
A
B
C
Evento1: vendita di 50000 stampanti
1050000
750000
1040000
Evento2: vendita di 100000 stampanti
2500000
1800000
2590000
Evento3: vendita di 150000 stampanti
3950000
2 850000
4140000
Evento4: vendita di 200000 stampanti
5400000
3900000
5690000
Quindi l’alternativa C.
Caso del costo (minimin): prendiamo l’alternativa che contiene il
minore tra i valori minori, cioè, se la tabella rapresentasse dei
costi, la B.
VERIFICA
========
Osservazione:
La seguente verifica è stata concordata con l’insegnante tutor secondo
i seguenti criteri:
Problema 1): calcolo del Valor Medio, Varianza, Scarto Quadratico
Medio partendo da valori interi della variabile casuale, al fine di
verificare l’acquisizione del metodo e non l’abilità di calcolo.
Problema 2): scelta dell’alternativa migliore secondo il Criterio del
Valor Medio in caso di guadagno.
Problema 3): scelta dell’alternativa migliore secondo il Criterio del
Valor Medio in caso di costi. In questo problema vengono già forniti i
Valor Medi delle varie alternative (procedura già richiesta dai
problemi 1 e 2) al fine di valutare l’acquisizione della
consapevolezza della differenza tra guadagni e costi nelle strategie
di scelta.
Problema 4): scelta dell’alternativa migliore utilizzando il criterio
della valutazione del rischio: si chiede di calcolare l’indice di
propensione al rischio ed effettuare la scelta.
Ho deciso di non inserire problemi relativi al criterio del
pessimista/ottimista perché l’argomento, come già precisato sopra, non
è stato sufficientemente trattato in classe.
Il tempo rischiesto per lo svolgimento del compito è stato di 50 min.
1.
Calcolare:
a.
Valor Medio: M(V)
b.
Varianza:
c.
Scarto Quadratico Medio:
della seguente distribuzione di probabilità della variabile casuale
discreta V:
V
- 3
2
5
8
P
0,1
0,5
0,3
0,1
2.
Nella seguente tabella sono riportati i GUADAGNI relativi a tre
diverse alternative di vendita A, B, C che si possono realizzare
al verificarsi degli eventi E1, E2, E3 con le rispettive
probabilità
Eventi
A
B
C
Probabilità
E1
10
5
20
0,2
E2
20
10
50
0,5
E3
30
15
20
0,3
Valor Medio: M
Stabilisci quale alternativa è più conveniente rispetto al Criterio
del Valor Medio.
3.
Nella seguente tabella sono riportati i COSTI relativi a quattro
diverse alternative di vendita A, B, C, D che si possono
realizzare al verificarsi degli eventi E1, E2, E3 con le
rispettive probabilità
Eventi
A
B
C
D
Probabilità
E1
50
70
40
100
0,1
E2
180
110
190
150
0,6
E3
210
150
250
200
0,3
Valor Medio: M
176
118
193
160
Stabilisci quale alternativa è più conveniente rispetto al Criterio
del Valor Medio.
4.
Nella seguente tabella sono riportati i GUADAGNI relativi a cinque
diverse alternative di vendita A, B, C, D, E che si possono
realizzare al verificarsi degli eventi E1, E2, E3, E4 con le
rispettive probabilità
Eventi
A
B
C
D
E
Probabilità
E1
- 50
- 40
70
100
50
0,5
E2
- 10
250
110
150
100
0,2
E3
210
550
150
200
200
0,2
E4
250
310
340
300
290
0,1
Valor Medio: M
40
171
121
150
114
Scarto Quadratico Medio: 
121,41
232,74
79,3
63,25
81,63
Indice di Propensione al Rischio: M*80/100
Sapendo che si è disposti a correre un rischio pari all’ 80% del valor
medio M, calcola per ogni alternativa l’indice di propensione al
rischio (M*80/100) e scegli l’alternativa migliore in base al Criterio
della Valutazione del Rischio.
SOLUZIONI
1) a) Valor Medio:

b) Varianza:

c) Scarto Quadratico Medio:

2) Si calcola il Valor Medio di ciascuna alternativa:

Eventi
A
B
C
Probabilità
E1
10
5
20
0,2
E2
20
10
50
0,5
E3
30
15
20
0,3
Valor Medio: M
21
10,5
35

T rattandosi di “guadagno”, poiché M(C) è maggiore sia di M(A)
che di M(B), l’alternativa più conveniente è la C.
3) Poiché si tratta di “costi”, l’alternativa più conveniente è la B,
in quanto ha Valor Medio minore delle altre: M(B)=118
4) Si calcola l’Indice di Propensione al Rischio di ciascuna
alternativa, sapendo che è l’80% del Valor Medio:
A: B:
C: D:
E:

Eventi
A
B
C
D
E
Probabilità
E1
- 50
- 40
70
100
50
0,5
E2
- 10
250
110
150
100
0,2
E3
210
550
150
200
200
0,2
E4
250
310
340
300
290
0,1
Valor Medio: M
40
171
121
150
114
Scarto Quadratico Medio: 
121,41
232,74
79,3
6 3,25
81,63
Indice di Propensione al Rischio: M*80/100
32
136,8
96,8
120
91,2
Poiché le alternative A e B hanno uno Scarto Quadratico Medio
superiore al rispettivo Indice di Propensione al Rischio, queste vanno
scartate. Tra le rimanenti, trattandosi di “guadagno”, l’alternativa
migliore è la D, in quanto ha Valor Medio maggiore delle altre:
M(D)=150.
GRIGLIA DI VALUTAZIONE DELLA VERIFICA
Data la “semplicità” della verifica è stato deciso di attribuire voto
massimo 8. I punti attribuiti a ciascun problema sono dunque
proporzionali a tale voto.
Problema n°
1
2
3
4
Frazioni di voto
3,2
(1,2+1,6+0,4)
2
0,4
2,4
Voto
Alunno1
3,2
2
0,4
2
7,6
Alunno2
3,2
2
0,4
2
7,6
Alunno3
1,6
2
0,4
1,6
5,6
Alunno4
3,2
2
0,4
2
7,6
Alunno5
3,2
2
0,4
2
7,6
Alunno6
3,2
2
0,4
2
7,6
Alunno7
3,2
2
0,4
2,4
8
Alunno8
3,2
2
0,4
2,4
8
Alunno9
3,2
2
0,4
2
7,6
Alunno10
3,2
2
0,4
2
7,6
Alunno11
3,2
2
0,4
2,4
8
Nel problema 1 una sola persona non ha portato a termine le 3
richieste. In particolare ha trovato il valor medio e iniziato il
calcolo della varianza. Ho dunque attribuito 1,6, cioè 1,2+0,4
I problemi 2 e 3 sono stati eseguiti correttamente da tutti.
Il problema 4 ha avuto un esito più variegato. Solamente tre persone
lo hanno eseguito correttamente, indicando chiaramente quali
alternative andavano scartate perché con dati troppo variabili. I
rimanenti hanno individuato correttamente l’alternativa giusta, ma
senza indicare le alternative da scartare.
BIBLIOGRAFIA
============
M.Bergamini, A.Trifone – Corso base rosso di matematica, Vol.5 –
Zanichelli
M.R.Fraschini, G.Grazzi, C.Spezia – Matematica per l’economia, Tomo G
– Atlas
Lorenzo Fattorini – Lezioni di Calcolo delle Probabilità – nuova
immagine
Fortunato Pesarin – Introduzione al Calcolo delle Probabilità – NIS
D.V.Lindley – Introduction to Probability and Statistics – Cambrige
University Press
JagJit Singh – Le idee della ricerca operativa – Biblioteca dell’EST
Mondadori
SOFTWARE UTILIZZATO
===================
Ms Word 2000
Ms Excel 2000
Corel Photo Paint
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