La Tierra Gira Alrededor Del Sol En Una Órbita

la tierra gira alrededor del sol en una órbita aproximadamente circular. la distancia entre la tierra y el sol es de 1.5 x 108 km. si suponem

La Tierra gira alrededor del Sol en una órbita aproximadamente
circular. La distancia entre la Tierra y el Sol es de 1.5 x 108 Km. Si
suponemos que la órbita es circular entonces podemos calcular,
fácilmente, la distancia que recorre la Tierra en su órbita alrededor
del Sol. Este resultado nos servirá para conocer la velocidad con que
se mueve la Tierra en su órbita, y conociendo dicha velocidad podremos
“pesar al Sol”, es decir, calcular su masa. a) Calcule la velocidad de
la Tierra en su órbita alrededor del Sol. b) Calcule la masa del Sol.
Solución
========
Para representar los parámetros involucrados en el movimiento de la
Tierra alrededor del Sol, consideraremos que M es la masa del Sol, m
es la masa de la Tierra, y r es la distancia entre sus centros.
a)
A la rapidez con la cual un cuerpo gira se le llama velocidad de
rotación. En mecánica la velocidad de un cuerpo esta dada por v = d/t
donde d es la distancia recorrida y t el tiempo empleado en recorrer
dicha distancia. Suponiendo que la Tierra se mueve en una órbita
circular alrededor del Sol, la distancia recorrida por la Tierra
equivale al perímetro de la circunferencia descrito por ella. El
tiempo empleado será el utilizado en completar una vuelta alrededor
del Sol (un año). Con base en lo anterior tendremos que la velocidad
orbital de la Tierra esta dada por

(1)
El radio de la órbita de la Tierra es r = 1.5 x 108 km = 1.5 x 1011 m.
El tiempo empleado en dar una vuelta t = 1 año = 3.2 x 107 s.
Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior tenemos que
v = 29 km/s
b) La Tierra en su trayectoria circular experimenta una fuerza
centrípeta que por la segunda Ley de Newton (F=ma) esta dada por:

(2)
La fuerza centrípeta Fc es precisamente la fuerza de atracción
gravitacional que esta dada por la siguiente ecuación:

(3)
donde G = 6.67 x 10-11 m3 kg-1 s-2
Puesto que estas dos ecuaciones son expresiones diferentes de la misma
fuerza F, podemos igualar ambas ecuaciones

(4)
Simplificando esta expresión obtenemos

(5)
Por lo que la masa del Sol, M, estará dada por

(6)
Sustituyendo los valores de r, v y G en la ecuación anterior obtenemos
que la masa del Sol es
M = 2 x 1030 kg.
2.- Un hoyo negro es una región del espacio-tiempo donde el campo
gravitacional es tan intenso que ni siquiera la luz puede escapar de
el.
a) Utilizando la ley de la conservación de la energía, calcule el
radio que debe tener la Tierra para que sea un hoyo negro. La masa de
la Tierra es 5.98 x 1024 kg y su radio es de 6.37 x 106 m.
b) Considerando la rotación de la Tierra sobre su eje (una vuelta por
día) y la conservación del momento angular durante “la contracción” de
la Tierra hacia un hoyo negro, calcule el radio para el cual se
equilibrarían la fuerza centrifuga y la fuerza gravitacional.
c) Compare las respuestas de los incisos anteriores y explique si es
posible que la Tierra se convierta en un hoyo negro.
Solución
a) La velocidad de escape es la velocidad mínima que debemos
suministrar aun cuerpo para que logre vencer el campo gravitatorio de
otro. Para que un objeto escape de la Tierra y nunca mas regrese, debe
lanzarse con una velocidad mayor que la que se requiere para ponerlo
en órbita.
Consideremos una velocidad de escape tal que, cuando a un objeto le
imprimimos justamente esta velocidad de escape, este tendrá una
velocidad cero en un punto en el “infinito”, en donde su energía total
(ET = E. cinética + E. potencial) será

(7)
Debido a que la energía se tiene que conservar, entonces se requiere
que en el momento del lanzamiento

(8)
Donde G es la constante gravitacional cuyo valor es de G = 6.67 x 10-11
m3 kg-1 s-2, es una masa de prueba, M la masa de la Tierra M = 5.98 x
1024 kg, y R es el radio de la Tierra, R = 6.37 x 106 m.
Simplificando la expresión (8) obtenemos


(9)
(10)

Como, hasta donde se sabe actualmente, ningún objeto puede viajar mas
rápido que la velocidad de la luz (c = 3 x 108 m/s), esto implica que
la máxima velocidad de escape es c. Entonces la ecuación para calcular
el radio que debería de tener la Tierra para que fuera un agujero
negro es

(11)
Sustituyendo los valores de G, M y, c obtenemos
RT = 8.8 x 10-3 m = 8.8 mm
Es decir, el diámetro que debería tener la Tierra para ser hoyo negro
tendría que ser aproximadamente la mitad del diámetro de una pelota de
ping-pong.
b)
Vamos a considerar a las condiciones normales de la Tierra como la
etapa inicial y la contracción en un hoyo negro como la situación
final. El momento angular L lo expresamos como L = rmv, siendo r el
radio de giro, m la masa del objeto y v la velocidad de rotación.
Tomando en cuenta la conservación del momento angular

(12)
y sustituyendo la expresión para L obtenemos

(13)
(la masa m se cancela). Despejando encontramos que

(14)
E
sta expresión nos va a permitir determinar el radio en cualquier etapa
de la contracción siempre y cuando conozcamos vf. Nosotros queremos
determinar el radio en el que se equilibran las fuerzas centrífuga y
gravitacional, con esta condición hacemos lo siguiente
(15)

(16)
Simplificando obtenemos

(17)
Nuevamente obtenemos una ecuación que nos va a permitir determinar el
radio en cualquier etapa de la contracción siempre y cuando conozcamos
v. Para la etapa final, que estamos considerando en este problema, la
expresión anterior la escribimos como

(18)
Combinando las ecuaciones (14) y (18) y despejando obtenemos

(19)
Sustituyendo los valores de G, M (masa de la tierra), ri (radio de la
Tierra) y vi (la velocidad de rotación de la Tierra = 463.24 m/s)
obtenemos

c)
Comparando los resultados del inciso a) y b) podemos concluir que la
Tierra no se puede convertir en un hoyo negro, ya que para un radio
menor que el del inciso b) la fuerza centrífuga se encargaría de
despedazarla. Es decir, la Tierra no podría reducirse hasta tener un
radio de 8.8 mm.
3.- La temperatura de la Fotosfera (la capa del Sol que vemos a simple
vista) es de aproximadamente 6000 K. Suponiendo que el Sol emite como
un cuerpo negro, a) calcule la longitud de onda en la que la emisión
del Sol es máxima, b) calcule la energía emitida por el Sol en el
rango del visible (4000 -- 7000 Å).