Sector De Aprendizaje Matemática Segundo Medio – Mayo 2010

sector de aprendizaje: matemática segundo medio – mayo 2010 guía de geometría “circunferencia y sus teoremas fundamentales

Sector de Aprendizaje: Matemática
Segundo Medio – Mayo 2010


Guía de Geometría
“Circunferencia y sus teoremas Fundamentales”
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Muchas veces has pensado (o aun sigues pensando) que la geometría no
sirve para nada (especialmente si es que quieres seguir alguna carrera
que no usa matemática). Pero la geometría sirve mucho a diario. ¿Uno
vive en la tierra? Claro, ahora: Geometría viene de Geo = tierra y
Metría = Medición, medición de la tierra, la tierra en que vivimos...
No creo que alguien pueda vivir sin saber nada del mundo donde vive ¿o
sí?. Por lo menos algún par de cosas físicas para entenderlo mejor.
Así que nos centralizaremos principalmente en la importancia de la
geometría relacionada con la famosa Circunferencia. Quizás para muchos
esta es solo una "línea circular con un centro O"... Pero en realidad
es mucho más que eso y te mostraré variados usos de este elemento
geométrico para que lo entiendas mejor y no creas que lo estudias solo
porque así es el sistema de enseñanza, o porque así lo indica el
currículo.
La circunferencia es uno de los elementos de la geometría más
importantes que están a normalmente en la vida, aunque no lo parezca.
Está en muchas partes.
En la prehistoria (millones de años atrás), con la invención de la
rueda se dio inicio a toda la tecnología de hoy en día, gracias a ella
aunque sea indirectamente, tenemos muchas aplicaciones de la
circunferencia a distintas realidades.
Para partir con este amplio e importante tema, primero aclararemos qué
es la circunferencia:
*
La circunferencia es la línea "imaginaria" y curva que rodea un
círculo, todos los puntos de esta línea equidistan de un punto
fijo, llamado CENTRO.
*
Diámetro se le llama a un segmento que une 2 puntos de la
circunferencia, pasando por el centro.
*
El radio es un segmento que une un solo punto de la circunferencia
con el punto O, por lo tanto un diámetro es igual a dos radios.
Con esto se infiere que el diámetro corresponde a la cuerda más
larga que se puede trazar en una circunferencia.
*
Hay que aclarar que se pueden hacer infinitos radios, como también
infinitos diámetros.



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Dale Graham and Linda Meyer
Thomas County Central High School
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Thomasville, Ga.


¿Qué líneas y segmentos se pueden asociar a una Circunferencia?







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A continuación una lista con variados usos de la Circunferencia en
variadas situaciones de la vida diaria y otros.
La Circunferencia en la Música
Se utilizan técnicas circunferenciales para muchas cosas. Por ejemplo;
Los Cds, piezas ordinarias en la música actual, son una placa circular
con un borde que termina siendo una circunferencia. Al centro se
observa un orificio redondo que sirve para tomar el Cd y para que el
equipo de sonido lo reproduzca. Estas piezas de la electrónica
requieren de mucha precisión para su correcto funcionamiento. Por lo
tanto para su fabricación se usan las técnicas del radio y el
diámetro.
Otro ejemplo en la música serían también las Baterías musicales. La
Batería, junto con la Guitarra y el Bajo son los instrumentos que más
se utilizan, dentro de la música popular, que es la música más
escuchada mundialmente, por eso su nombre. Este instrumento está
conformado básica y principalmente por los 5 "tambores" básicos y los
platillos. Los tambores (Caja, Bombo, Toms, Timbales) son de forma
tubular y con un cierto largo. (No está demás decir que los aros que
se usan para tensar y afinar la zona donde se golpean los tambores son
“circunferencias” y su diámetro es un poco mayor que el del tambor).
Cuando alguien se refiere a algún tipo de tambor, habla por ejemplo de
"un bombo de 46 x 35", esto significa que es un bombo que tiene 46 cm
de diámetro y 35 cm de fondo. Con los platillos también se usa la
circunferencia. Los Platillos son placas metálicas, redondas y
semi-planas que producen sonidos al ser golpeadas. También tienen sus
medidas, y para hablar de estas, se recurre al diámetro. Por ejemplo:
"Ese platillo es de 18", esto significa que el platillo tiene 18
pulgadas de diámetro.
La Circunferencia en las Armas
Como ya he dicho, el diámetro es un segmento que une dos puntos de la
circunferencia pasando por el centro, este diámetro es lo que se usa
para medir el tamaño de agujeros como lo es en las armas. Se habla
normalmente de pistolas calibre de 6.35 mm, 7.65 mm, 9 mm, etc. Esto
no es solo un "nombre", sino que esto se refiere al tamaño del agujero
(cañón) por donde salen los proyectiles (balas) del arma, usando el
tamaño del diámetro y usando una medida milimétrica para lograrlo.
Teniendo en cuenta que las armas son utilizadas muchas veces con
motivos militares, es importante que las armas sean testeadas a la
perfección respecto a sus diámetros, ya que el menor desperfecto puede
ocasionar anomalías muy peligrosas, que terminan siendo el motivo de
la vida o muerte de muchas personas. Donde la vida corre peligro, es
donde más importante un buen control de calidad de los productos.
La Circunferencia en el Transporte
En el transporte también puedes apreciar la presencia de la
Circunferencia. De hecho, donde se puede notar y ejemplificar mejor es
en la Bicicleta, un conjunto de tubos metálicos con dos ruedas que
aplican la geometría perfectamente: Las ruedas están hechas de un
“arco”. La mejor parte de esto es que la rueda se afirma desde el
centro y desde este salen un montón de alambres delgados llamados
“rayos” y estos son radios que mantienen la forma circunferencial de
la rueda perfectamente. Otra cosa es que el tamaño de la rueda es
medido en Aro 24, 26, etc. Y esto se hace usando el diámetro.
La Circunferencia en el Sistema Horario
En la antigüedad todos los relojes eran de una forma circunferencial,
ahora están los relojes digitales y mucho más, pero me referiré a los
relojes antiguos o no tan antiguos porque sin embargo se siguen usando
hasta la actualidad.
El reloj consiste en una placa redonda (circunferencial) que está
dividida en 12 partes congruentes, al centro tiene un agujero por
donde sale el sistema del horario, minutero y segundero. Bueno
evidentemente dentro del reloj se encuentra todo un sistema de
maquinarias con engranajes y demases, pero me centraré en otros
aspectos. Para dividir la circunferencia en 12 partes exactamente
iguales, que a futuro podrán dar una medición de hora perfecta, es
necesario usar criterios de ángulos de la circunferencia. Usando el
centro como vértice*, se puede observar que el ángulo interno de la
circunferencia mide 360°. Entonces será necesario dividir 360° en 12.
El resultado será 30° y así cada parte del reloj tendrá que medir 30°.
También se puede usar la formula:
2π·r (Perímetro de la Circunferencia)
Para tener la distancia de cada uno de los 12 arcos de la
circunferencia, esto se puede hacer con una huincha de medir, ya que
estas son flexibles y se pueden adecuar a la forma redonda de la
circunferencia.
La Circunferencia en los Deportes
Quizás parezca que en la única parte en donde podría aplicarse la
Circunferencia en los deportes sería en los balones... Pero no, si
solo nos detenemos a pensar un poco nos daremos cuenta que muchas de
las canchas o lugares en donde se practican deportes tienen marcas
geométricas y circunferencias que determinan situaciones
reglamentarias, etc. Los canchas de Fútbol, las canchas de Básquetbol,
y en muchas más.
La Circunferencia, también presente en la Naturaleza:
Probablemente pienses que agregando este ítem lo único que quise fue
alargar más la guía, pero te demostraré que la circunferencia también
está presente en la naturaleza, aunque no sea totalmente precisa.
Los árboles, tipos de vida antiquísimos, crecen con el pasar de los
años. Primero crecen pequeñas ramificaciones desde el suelo. Luego
crecen más y con esto va aumentando el grosor de su Tronco. La
circunferencia se aplica entonces debido a que las personas
relacionadas con la Naturaleza como los Ingenieros Forestales, saben
perfectamente que al cortar un árbol, se pueden apreciar muchos
“anillos” que están en el tronco. Y con el “tamaño” de cada anillo, se
puede determinar la edad que tiene cierto árbol. Lo que nuevamente se
usa, entonces, es el diámetro de cada anillo.
La Circunferencia es un elemento geométrico de mucha importancia. Esta
muy a diario en todas partes, gracias a este se pueden realizar muchas
técnicas de gran precisión con productos como los Cds, los relojes,
etc.
También podemos decir que gracias a esto, tenemos mucha más seguridad
a la hora de comprar cosas como una bicicleta ya que sabemos que en
ella han trabajado Ingenieros que conocen muy bien a la Circunferencia
y aprovechan al máximo todo lo que esta les puede entregar.
TEOREMAS FUNDAMENTALES
kiñe .- Ángulo del centro: mide lo mismo que el arco que subtiende.

“O”: centro de la
circunferencia
Epu.- Ángulo inscrito: mide la mitad del arco que subtiende.

K üla.- Ángulo inscrito y ángulo del centro correspondiente: si
un ángulo inscrito y un ángulo del centro subtienden el mismo arco, el
ángulo del centro mide el doble del ángulo inscrito.
“O”: centro de la circunferencia
α=2β
β= γ+ δ
meli.- Igualdad de ángulos inscritos: si 2 o más ángulos inscritos
comparten un mismo arco, éstos miden lo mismo.

α=β=γ
k echu.- Ángulo inscrito en una semicircunferencia: todo ángulo
inscrito en una semicircunferencia es recto.
: diámetro
K ayu.- Ángulo interior:
=
R egle.- Ángulo exterior:

Pura.- Ángulo semi-inscrito: está formado por una cuerda y una
tangente.

: tangente : cuerda

Aylla.- Secantes: sean y secantes

Mari.- Secante y tangente: sean tangente y secante


m ari kiñe.- Cuerdas:

Mari epu.- Si ABDC cuadrilátero circunscrito a circunferencia de
centro O, se cumple que:
a + b = c + d
Mari küla.- Sí ABCD cuadrilátero inscrito en circunferencia de centro
O, se cumple que:
α + γ = β + δ = 180º
EJERCICIOS
| .) En la figura, AB diámetro de la circunferencia y
CDA : DAB = 2 : 1, entonces la medida del CDA es
A) 40º
B) 60º
C) 80º
D) 120º
E) ninguna de las medidas anteriores.
2.) En la figura, DBC = 120º, CBE = 100º, A, B y D
colineales, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?

I) Arco AC = 240º
II) Arco AE = 80º
III) Arco CE = 200º
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo II y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas.
3.) En la figura, O centro de la circunferencia de radio 12, AB :
diámetro y AD = DO. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?

I) AC = 12
II) CD = 6√3
III) BC = 12√3
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
4.) En la figura, AB y CD cuerdas, ED = 4, AE = 20 y BE = 5. ¿Cuánto
mide CD?

A) 29
B) 25
C) 21
D) 14
E) Ninguno de los valores anteriores.
5.) En la figura, el diámetro AB de la circunferencia mide 20 cm, la
distancia entre el centro de la circunferencia a la cuerda CD es de 5
cm, entonces la cuerda CD mide

A) 5√3 cm
B) 10 cm
C) 10√3 cm
D) 20 cm
E) faltan datos para determinarla.
6 .) En la figura, AB y AE son secantes, AC = 2 cm, AE = 20 cm
y ED = 16 cm. La medida de AB es
A) 41 cm
B) 40 cm
C) 39 cm
D) 38 cm
E) ninguna de las medidas anteriores.
7.) En la figura, O centro de la circunferencia, AC y DC son secantes,
BC = 6 cm, DC = 12 cm y DE = 5 cm. El diámetro de la circunferencia
mide
A ) 2 cm
B) 4 cm
C) 6,5 cm
D) 8 cm
E) 13 cm
8.) En la circunferencia de la fi gura, PQ tangente, RQ secante, si RQ
= 64 y
R S = 48, ¿cuál es el valor de PQ ?
A) 32
B) 16√3
C) 12
D) 8
E) Ninguno de los valores anteriores.
9.) Determine el ángulo menor que forman los punteros del reloj a las
13 horas 40 minutos.
A) 170º
B) 155º
C) 150º
D) 130º
E) 120º
1 0.) Sea ABCDE pentágono regular, ¿cuánto mide x?
A) 54°
B) 90°
C) 108°
D) 150°
E) 216°
11.) En la figura, OB = 6 cm, OA = 2 cm, O centro de la
circunferencia. Determine el valor de CD

A) 4√2 cm
B) 8√2 cm
C) 2√10 cm
D) 4√10 cm
E) Ninguno de ellos
12.) Sea AB = 8 cm (tangente a la circunferencia en A), BC = 32 cm, AF
= 25 cm, EF = 5 cm.
Si FD > FC, ¿cuánto mide FD ?
A) 4 cm
B) 5 cm
C) 10 cm
D) 25 cm
E) Ninguno de ellos
13.) En la figura, se puede determinar la medida del ángulo
si:
( 1) ACB = 70º.
(2) Arco BA = 220º.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
14.) En la figura, AC y BD cuerdas, se puede determinar la medida del
trazo CE si:
( 1) AC = 14 cm y DE = 12 cm.
(2) DB = 16 cm.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
Francisco Arratia Camus
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Guía de Teoremas de Circunferencia