unidad 2: divisibilidad. 1º eso. unidad 2: divisibilidad. objetivos didácticos criterios de evaluación ejercicios a realizar

UNIDAD 2: DIVISIBILIDAD.
1º ESO.
UNIDAD 2: DIVISIBILIDAD.
OBJETIVOS DIDÁCTICOS
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
EJERCICIOS A REALIZAR
1. Identificar relaciones de divisibilidad entre números naturales y
conocer los números primos.
1.1. Reconoce si un número es múltiplo o divisor de otro.
1, 12, 23, 34, 45 y 56
1.2. Obtiene los divisores de un número.
2, 13, 24, 35, 46 y 57
1.3. Inicia la serie de múltiplos de un número.
3, 14, 25, 36, 47 y 58
1.4. Identifica los números primos menores que 50 y justifica por qué
lo son.
4, 15, 26, 37, 48 y 59
2. Conocer los criterios de divisibilidad y aplicarlos en la
descomposición de un número en factores primos.
2.1. Identifica mentalmente, en un conjunto de números, los múltiplos
de 2, 3, 5 y 10.
5, 16, 27, 38, 49 y 60
2.2. Descompone números en factores primos.
6, 17, 28, 39, 50 y 61
3. Conocer los conceptos de máximo común divisor (M.C.D.) y mínimo
común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números y dominar estrategias
para su obtención.
3.1. Obtiene el M.C.D. y el m.c.m. de dos o más números mediante su
descomposición en factores primos.
7, 18, 29, 40, 51 y 62
3.2. Obtiene mentalmente el M.C.D. o el m.c.m. de dos números en casos
muy sencillos.
8, 19, 30, 41, 52 y 63
4. Aplicar los conocimientos relativos a la divisibilidad para
resolver problemas.
4.1. Resuelve problemas que requieren la aplicación de los conceptos
de múltiplo y de divisor.
9, 20, 31, 42, 53 y 64
4.2. Resuelve problemas en los que se requiere aplicar el concepto de
máximo común divisor.
10, 21, 32, 43, 54 y 65
4.3. Resuelve problemas en los que se requiere aplicar el concepto de
mínimo común múltiplo.
11, 22, 33, 44, 55 y 66
CONCEPTOS
PROCEDIMIENTOS
ACTITUDES
• La relación de divisibilidad.
• Múltiplos y divisores.
— Los múltiplos de un número.
— Los divisores de un número.
• Números primos y números compuestos.
— Criterios de divisibilidad por 2, 3, 5 y 10.
— Descomposición factorial de un número.
• Máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números.
• Mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números.
• Identificación de números emparentados por la relación de
divisibilidad.
• Determinación de la existencia (o de la no existencia) de relación
de divisibilidad entre dos números dados.
• Comprobación de la relación múltiplo-divisor entre dos números.
• Obtención del conjunto de divisores de un número. Emparejamiento de
divisores.
• Obtención de la serie ordenada de múltiplos de un número.
• Identificación automática (memorización de los números primos
menores que 50).
• Aplicación de los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 10, 25…
• Búsqueda de estrategias para averiguar si un número (menor que 1000)
es primo o compuesto.
• Descomposición de un número en factores primos.
• Obtención del M.C.D. siguiendo procesos intuitivos o naturales:
— Cálculo de los divisores de cada número.
— Obtención de los divisores comunes.
— Selección del mayor divisor común.
• Aplicación del algoritmo óptimo para el cálculo del M.C.D. de dos
números.
• Obtención del m.c.m. siguiendo el proceso natural:
— Explicitación de la serie ordenada de múltiplos de cada número.
— Obtención de los divisores comunes.
— Selección del menor múltiplo común.
• Aplicación del algoritmo óptimo para el cálculo del m.c.m. de dos
números.
• Resolución de problemas de divisibilidad.
— Problemas de múltiplos y divisores.
— Problemas de M.C.D. y de m.c.m.
• Interés por la exposición clara de informaciones y cálculos
numéricos así como por los recursos que lo facilitan.
• Interés por la investigación de las propiedades y relaciones
numéricas.
• Interés por la comprensión de los procesos de cálculo.
• Interés por la elaboración de estrategias personales de cálculo
mental y escrito.
• Tenacidad y constancia en la resolución de problemas.
EJERCICIOS A REALIZAR POR EL ALUMNO.
Ejercicio nº 1.-
¿Cuál o cuáles de estos números son múltiplos de 12? Explica por qué:
a) 96 b) 58 c) 84
Ejercicio nº 2.-Calcula todos los divisores de los siguientes números:
a) Divisores de 40 = b) Divisores de 33 =
Ejercicio nº 3.-Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:
a) 12, ______, ______, _______, _______.
b) 25, ______, ______, _______, _______.
c) 33, ______, ______, _______, _______.
Ejercicio nº 4.-¿Cuáles de los siguientes números son primos? ¿Por
qué?
4 9 13 29 32 41
Ejercicio nº 5.-En los siguientes números:
16 22 25 28 30 34 36 40 52 66 80 99
- Rodea con un círculo los múltiplos de dos.
- Encierra en un triángulo los múltiplos de tres.
- Encierra en un cuadrado los múltiplos de cinco.
- ¿Qué números quedan a la vez rodeados por un círculo y encerrados en
un cuadrado? ¿De que otro número son múltiplos?
Ejercicio nº 6.-Descompón en factores primos:
a) 24 b) 16 c) 248
Ejercicio nº 7.-Calcula:
a) m.c.m. (15, 16, 18) b) M.C.D. (30, 32, 48)
Ejercicio nº 8.-Calcula mentalmente:
a) m.c.m. (12, 24) b) m.c.m. (6, 9) c) M.C.D. (12, 16) d) M.C.D. (4,
12)
Ejercicio nº 9.-¿De cuántas formas diferentes se puede dividir una
clase de 24 estudiantes en equipos con el mismo número de componentes?
Ejercicio nº 10.-Un carpintero dispone de tres listones de madera de
40, 60 y 90 cm de longitud, respectivamente. Desea dividirlos en
trozos iguales y de la mayor medida posible, sin que sobre madera.
¿Qué longitud deben tener esos trozos?
Ejercicio nº 11.-Beatriz visita a su abuela cada 8 días, y su hermano
David, cada 14 días. Hoy han coincidido en la visita. ¿Cuándo volverán
a coincidir? ¿Cuántas visitas habrá hecho cada uno a su abuela?
Ejercicio nº 12.-Responde a las preguntas y justifica tus respuestas:
a) ¿El número 14 es divisor de 56? Explica por qué.
b) ¿El número 301 es múltiplo de 31? Explica por qué.
Ejercicio nº 13.-Calcula todos los divisores de los siguientes
números:
a) Divisores de 30 = b) Divisores de 15 =
Ejercicio nº 14.-Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:
a) 16, ______, ______, ______, ______.
b) 20, ______, ______, ______, ______.
c) 18, ______, ______, ______, ______.
Ejercicio nº 15.-¿Cuáles de los siguientes números son primos? ¿Por
qué?
3 6 23 32 37 41
Ejercicio nº 16.-Observa estos números y completa:
15 18 25 30 37 40 42 45 70 75
Múltiplos de 2:
Múltiplos de 3:
Múltiplos de 5:
Múltiplos de 10:
Ejercicio nº 17.-Descompón en factores primos:
a) 12 b) 36 c) 450
Ejercicio nº 18.-
Calcula:
a) m.c.m. (2, 3, 5) b) M.C.D. (15, 30, 45)
Ejercicio nº 19.-Calcula mentalmente:
a) m.c.m. (5, 10) b) m.c.m. (6, 8)
c) M.C.D. (8, 12) d) M.C.D. (10, 15)
Ejercicio nº 20.-¿De cuantas formas diferentes se puede construir un
rectángulo con 36 cuadrados iguales?
Ejercicio nº 21.-En un albergue coinciden tres grupos de
excursionistas de 40, 56 y 72 personas cada grupo. El camarero quiere
organizar el comedor de forma que en cada mesa haya igual número de
comensales y se reúna el mayor número de personas posible sin mezclar
los grupos. ¿Cuántos comensales sentará en cada mesa?
Ejercicio nº 22.-Una rana corre dando saltos de 60 cm perseguida por
un gato que da saltos de 90 cm. ¿Cada qué distancia coinciden las
huellas del gato y las de la rana?
Ejercicio nº 23.-¿Cuáles de estos números son múltiplos de tres?
Explica por qué:15 20 19 33 49 12
Ejercicio nº 24.-Calcula todos los divisores de los siguientes
números:
a) Divisores de 46 = b) Divisores de 34 =
Ejercicio nº 25.-Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:
a) 24, ______, ______, _______, _______.
b) 19, ______, ______, _______, _______
c) 15, ______, ______, _______, _______.
Ejercicio nº 26.-¿Cuáles de los siguientes números son primos? ¿Por
qué?
5 12 13 15 19 47
Ejercicio nº 27.-Observa estos números y completa:
12 14 21 25 36 40 42 45 70 75
Múltiplos de 2:
Múltiplos de 3:
Múltiplos de 5:
Múltiplos de 10:
Ejercicio nº 28.Descompón en factores primos:
a) 54 b) 26 c) 888
Ejercicio nº 29.-Calcula:
a) m.c.m. (12, 24, 36) b) M.C.D. (60, 72, 84)
Ejercicio nº 30.-Calcula mentalmente:
a) m.c.m. (20, 30) b) m.c.m. (6, 8)
c) M.C.D. (10, 12) d) M.C.D. (15, 20)
Ejercicio nº 31.-¿De cuántas maneras distintas se pueden envasar en
botes 36 pelotas de tenis de forma que haya siempre el mismo número de
pelotas de tenis en cada bote?
Ejercicio nº 32.-Un electricista tiene tres rollos de cable de 96, 120
y 144 metros de longitud. Desea cortarlos en trozos iguales de la
mayor longitud posible, sin que quede ningún trozo sobrante. ¿Qué
longitud tendrá cada trozo?
Ejercicio nº 33.-¿Cuál es la capacidad del menor depósito posible que
puede llenarse con un número exacto de bidones de 12, 16 y 18 litros,
respectivamente?
Ejercicio nº 34.-Responde a las preguntas y justifica tus respuestas:
a) ¿El número 48 es múltiplo de 4? Explica por qué.
b) ¿El número 12 es divisor de 84? Explica por qué.
Ejercicio nº 35.-Calcula todos los divisores de los siguientes
números:
a) Divisores de 24 = b) Divisores de 36 =
Ejercicio nº 36.-Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:
a) 14, ______, _______, _______, _______.
b) 13, ______, _______, _______, ________.
c) 7, _______, _______, _______, ________.
Ejercicio nº 37.-¿Cuáles de los siguientes números son primos? ¿Por
qué?
2 7 10 12 37 43
Ejercicio nº 38.-De entre los siguientes números, tacha los múltiplos
de 2, rodea con un círculo los múltiplos de tres y subraya los
múltiplos de cinco. ¿De que otro número son múltiplos los números que
están a la vez tachados y subrayados?
10 11 18 20 25 27 30 33 40 42
Ejercicio nº 39.-Descompón en factores primos:
a) 22 b) 30 c) 644
Ejercicio nº 40.-Calcula:
a) m.c.m. (20, 24, 36) b) M.C.D. (48, 72, 84)
Ejercicio nº 41.-Calcula mentalmente:
a) m.c.m. (6, 9) b) m.c.m. (10, 15) c) M.C.D. (12, 16) d) M.C.D. (9,
18)
Ejercicio nº 42.-¿De cuántas formas podemos empaquetar 45 libros si
debe haber el mismo número de libros en cada paquete?
Ejercicio nº 43.-Un granjero ha recogido de sus gallinas 30 huevos
morenos y 48 huevos blancos. Quiere envasarlos en recipientes con la
mayor capacidad posible y con el mismo número de huevos (sin mezclar
los blancos con los morenos). ¿Cuántos huevos debe poner en cada
recipiente?
Ejercicio nº 44.-Un cometa es visible desde la tierra cada 16 años, y
otro, cada 24 años. El último año que fueron visibles conjuntamente
fue en 1968. ¿En qué año volverán a coincidir?
Ejercicio nº 45.-Responde a las preguntas y justifica tus respuestas:
a) ¿El número 8 es divisor de 30? Explica por qué.
b) ¿El número 155 es múltiplo de 31? Explica por qué.
Ejercicio nº 46.-Calcula todos los divisores de los siguientes
números:
a) Divisores de 60 = b) Divisores de 48 =
Ejercicio nº 47.-Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:
a) 12, ______, _______, _______, _______.
b) 9, _______, _______, _______, _______.
c) 25, ______, _______, _______, _______.
Ejercicio nº 48.-¿Cuáles de los siguientes números son primos? ¿Por
qué?
7 9 16 37 43 47
Ejercicio nº 49.-En los siguientes números:
6 12 15 18 20 24 36 44 50 66 70 75
- Rodea con un círculo los múltiplos de dos.
- Encierra en un triángulo los múltiplos de tres.
- Encierra en un cuadrado los múltiplos de cinco.
- ¿Qué números quedan a la vez rodeados por un círculo y encerrados en
un cuadrado? ¿De que otro número son múltiplos?
Ejercicio nº 50.-Descompón en factores primos:
a) 18 b) 50 c) 504
Ejercicio nº 51.-Calcula: a) m.c.m. (30, 60, 90) b) M.C.D. (8, 16, 24)
Ejercicio nº 52.-Calcula mentalmente:
a) m.c.m. (4, 6) b) m.c.m. (5, 7) c) M.C.D. (6, 10) d) M.C.D. (8, 12)
Ejercicio nº 53.-¿Se puede llenar un número exacto de garrafas de 15
litros con un bidón que contiene 170 litros? ¿Y con un bidón de 180
litros?
Ejercicio nº 54.-El dependiente de una papelería tiene que organizar
en botes 36 bolígrafos rojos, 60 bolígrafos azules y 48 bolígrafos
negros, de forma que en cada bote haya el mayor número de bolígrafos
posible y todos tengan el mismo número sin mezclar los colores.
¿Cuántos pondrá en cada bote?
Ejercicio nº 55.-Un cine tiene un número de asientos comprendido entre
200 y 250. Sabemos que el número de entradas vendidas para completar
el aforo es múltiplo de 4, de 6 y de 10. ¿Cuántos asientos tiene el
cine?
Ejercicio nº 56.-¿Cuáles de estos números son múltiplos de tres?
Explica por qué:15 20 19 33 49 12
Ejercicio nº 57.-Calcula todos los divisores de los siguientes
números:
a) Divisores de 46 = b) Divisores de 34 =
Ejercicio nº 58.-Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:
a) 14, ______, _______, _______, _______.
b) 13, ______, _______, _______, ________.
c) 7, _______, _______, _______, ________.
Ejercicio nº 59.-¿Cuáles de los siguientes números son primos? ¿Por
qué?
7 9 16 37 43 47
Ejercicio nº 60.-De entre los siguientes números, tacha los múltiplos
de 2, rodea con un círculo los múltiplos de tres y subraya los
múltiplos de cinco. ¿De que otro número son múltiplos los números que
están a la vez tachados y subrayados?
10 11 18 20 25 27 30 33 40 42
Ejercicio nº 61.-Descompón en factores primos:
a) 18 b) 50 c) 504
Ejercicio nº 62.-Calcula:
a) m.c.m. (30, 60, 90) b) M.C.D. (8, 16, 24)
Ejercicio nº 63.-Calcula mentalmente:
a) m.c.m. (12, 24) b) m.c.m. (6, 9) c) M.C.D. (12, 16) d) M.C.D. (4,
12)
Ejercicio nº 64.-¿De cuantas formas diferentes se puede construir un
rectángulo con 36 cuadrados iguales?
Ejercicio nº 65.-En un albergue coinciden tres grupos de
excursionistas de 40, 56 y 72 personas cada grupo. El camarero quiere
organizar el comedor de forma que en cada mesa haya igual número de
comensales y se reúna el mayor número de personas posible sin mezclar
los grupos. ¿Cuántos comensales sentará en cada mesa?
Ejercicio nº 66.-¿Cuál es la capacidad del menor depósito posible que
puede llenarse con un número exacto de bidones de 12, 16 y 18 litros,
respectivamente?
EJERCICIOS RESUELTOS.
Ejercicio nº 1.-
¿Cuál o cuáles de estos números son múltiplos de 12? Explica por qué:
a) 96 b) 58 c) 84
Solución:
a) 96  Sí, porque el cociente es exacto: 96 : 12 = 8.
b) 58  No, porque el cociente no es exacto: 58 : 12 = 4,8.
c) 84  Sí, porque el cociente es exacto: 84 : 12 = 7.
Ejercicio nº 2.-Calcula todos los divisores de los siguientes números:
a) Divisores de 40 = b) Divisores de 33 =
Solución:
a) Divisores de 40 = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
b) Divisores de 33 = 1, 3, 11, 33
Ejercicio nº 3.-Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:
a) 12, ______, ______, _______, _______.
b) 25, ______, ______, _______, _______.
c) 33, ______, ______, _______, _______.
Solución:
a) 12, 24, 36, 48, 60.
b) 25, 50, 75, 100, 125.
c) 33, 66, 99, 132, 165.
Ejercicio nº 4.-¿Cuáles de los siguientes números son primos? ¿Por
qué?
4 9 13 29 32 41
Solución:
4 9 13 29 32 41
13, 29 y 41, porque solo son divisibles por sí mismos y por la unidad.
Ejercicio nº 5.-En los siguientes números:
16 22 25 28 30 34 36 40 52 66 80 99
- Rodea con un círculo los múltiplos de dos.
- Encierra en un triángulo los múltiplos de tres.
- Encierra en un cuadrado los múltiplos de cinco.
- ¿Qué números quedan a la vez rodeados por un círculo y encerrados en
un cuadrado? ¿De que otro número son múltiplos?
Solución:

El 30, 40 y 80. Son múltiplos también de 10.
Ejercicio nº 6.-Descompón en factores primos:
a) 24 b) 16 c) 248
Solución:



Ejercicio nº 7.-Calcula:
a) m.c.m. (15, 16, 18) b) M.C.D. (30, 32, 48)
Solución:
a) 15 = 3  5
16 = 24 m.c.m. (15, 16, 18) = 24  32  5 = 720
18 = 2  32
b) 30 = 2  3  5
32 = 25 M.C.D. (30, 32, 48) = 2
48 = 24  3
Ejercicio nº 8.-Calcula mentalmente:
a) m.c.m. (12, 24) b) m.c.m. (6, 9) c) M.C.D. (12, 16) d) M.C.D. (4,
12)
Solución:
a) m.c.m. (12, 24) = 24 b) m.c.m. (6, 9) = 18
c) M.C.D. (12, 16) = 4 d) M.C.D. (4, 12) = 4
Ejercicio nº 9.-¿De cuántas formas diferentes se puede dividir una
clase de 24 estudiantes en equipos con el mismo número de componentes?
Solución:

Ejercicio nº 10.-Un carpintero dispone de tres listones de madera de
40, 60 y 90 cm de longitud, respectivamente. Desea dividirlos en
trozos iguales y de la mayor medida posible, sin que sobre madera.
¿Qué longitud deben tener esos trozos?
Solución:

M.C.D. (40, 60, 90) = 2  5 = 10 cm debe medir cada listón.
Ejercicio nº 11.-Beatriz visita a su abuela cada 8 días, y su hermano
David, cada 14 días. Hoy han coincidido en la visita. ¿Cuándo volverán
a coincidir? ¿Cuántas visitas habrá hecho cada uno a su abuela?
Solución:

m.c.m. (8, 14) = 23  7 = 56 Volverán a coincidir dentro de 56 días.
56 : 8 = 7 visitas habrá hecho Beatriz.
56 : 14 = 4 visitas habrá hecho David.
Ejercicio nº 12.-Responde a las preguntas y justifica tus respuestas:
a) ¿El número 14 es divisor de 56? Explica por qué.
b) ¿El número 301 es múltiplo de 31? Explica por qué.
Solución:
a.
Sí; decimos que 14 es divisor de 56 porque su cociente es exacto:
56 : 14 = 4.
b) No; decimos que 301 no es múltiplo de 31 porque su cociente no es
exacto: 301 : 31 = 9,7.
Ejercicio nº 13.-Calcula todos los divisores de los siguientes
números:
a) Divisores de 30 = b) Divisores de 15 =
Solución:
a) Divisores de 30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
b) Divisores de 15 = 1, 3, 5, 15
Ejercicio nº 14.-Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:
a) 16, ______, ______, ______, ______.
b) 20, ______, ______, ______, ______.
c) 18, ______, ______, ______, ______.
Solución:
a) 16, 32, 48, 64, 80. b) 20, 40, 60, 80, 100. c) 18, 36, 54, 72, 90.
Ejercicio nº 15.-¿Cuáles de los siguientes números son primos? ¿Por
qué?
3 6 23 32 37 41
Solución:
3 6 23 32 37 41
3, 23 y 41, porque solo son divisibles por sí mismos y por la unidad.
Ejercicio nº 16.-Observa estos números y completa:
15 18 25 30 37 40 42 45 70 75
Múltiplos de 2:
Múltiplos de 3:
Múltiplos de 5:
Múltiplos de 10:
Solución:
Múltiplos de 2: 18, 30, 40, 42 y 70
Múltiplos de 3: 15, 18, 30, 42, 45 y 75
Múltiplos de 5: 15, 25, 30, 40, 45, 70 y 75
Múltiplos de 10: 30, 40 y 70
Ejercicio nº 17.-Descompón en factores primos:
a) 12 b) 36 c) 450
Solución:



Ejercicio nº 18.-
Calcula:
a) m.c.m. (2, 3, 5) b) M.C.D. (15, 30, 45)
Solución:
a) 2 = 2
3 = 3 m.c.m. (2, 3, 5) = 2  3  5 = 30
5 = 5
b) 15 = 3  5
30 = 2  3  5 M.C.D. (15, 30 , 45) = 3  5 = 15
45 = 32  5
Ejercicio nº 19.-Calcula mentalmente:
a) m.c.m. (5, 10) b) m.c.m. (6, 8)
c) M.C.D. (8, 12) d) M.C.D. (10, 15)
Solución:
a) m.c.m. (5, 10) = 10 b) m.c.m. (6, 8) = 24
c) M.C.D. (8, 12) = 4 d) M.C.D. (10, 15) = 5
Ejercicio nº 20.-¿De cuantas formas diferentes se puede construir un
rectángulo con 36 cuadrados iguales?
Solución:

Ejercicio nº 21.-En un albergue coinciden tres grupos de
excursionistas de 40, 56 y 72 personas cada grupo. El camarero quiere
organizar el comedor de forma que en cada mesa haya igual número de
comensales y se reúna el mayor número de personas posible sin mezclar
los grupos. ¿Cuántos comensales sentará en cada mesa?
Solución:

M.C.D. (40, 56, 72) = 23 = 8 comensales en cada mesa.
Ejercicio nº 22.-Una rana corre dando saltos de 60 cm perseguida por
un gato que da saltos de 90 cm. ¿Cada qué distancia coinciden las
huellas del gato y las de la rana?
Solución:

m.c.m. (60, 90) = 22  32  5 = 4  9  5 = 180 cm. Coinciden cada 180
cm.
Ejercicio nº 23.-¿Cuáles de estos números son múltiplos de tres?
Explica por qué:15 20 19 33 49 12
Solución:
 Son múltiplos de tres los números 12, 15 y 33, porque el cociente es
exacto:
12 : 3 = 4 15 : 3 = 5 33 : 3 = 11
Ejercicio nº 24.-Calcula todos los divisores de los siguientes
números:
a) Divisores de 46 = b) Divisores de 34 =
Solución:
a) Divisores de 46 = 1, 2, 23, 46
b) Divisores de 34 = 1, 2, 17, 34
Ejercicio nº 25.-Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:
a) 24, ______, ______, _______, _______.
b) 19, ______, ______, _______, _______
c) 15, ______, ______, _______, _______.
Solución:
a) 24, 48, 72, 96, 120.
b) 19, 38, 57, 76, 95.
c) 15, 30, 45, 60, 75.
Ejercicio nº 26.-¿Cuáles de los siguientes números son primos? ¿Por
qué?
5 12 13 15 19 47
Solución:
5 12 13 15 19 47
5, 13, 19 y 47, porque solo son divisibles por sí mismos y por la
unidad.
Ejercicio nº 27.-Observa estos números y completa:
12 14 21 25 36 40 42 45 70 75
Múltiplos de 2:
Múltiplos de 3:
Múltiplos de 5:
Múltiplos de 10:
Solución:
Múltiplos de 2: 12, 14, 36, 40, 42, 70.
Múltiplos de 3: 12, 21, 36, 42, 45, 75.
Múltiplos de 5: 25, 40, 45, 70, 75.
Múltiplos de 10: 40, 70.
Ejercicio nº 28.Descompón en factores primos:
a) 54 b) 26 c) 888
Solución:



Ejercicio nº 29.-Calcula:
a) m.c.m. (12, 24, 36) b) M.C.D. (60, 72, 84)
Solución:
a) 12 = 22  3
24 = 23  3 m.c.m. (12, 24, 36) = 23  32 = 72
36 = 22  32
b) 60 = 22  3  5
72 = 23  32 M.C.D. (60, 72, 84) = 22  3 = 12
84 = 22  3  7
Ejercicio nº 30.-Calcula mentalmente:
a) m.c.m. (20, 30) b) m.c.m. (6, 8)
c) M.C.D. (10, 12) d) M.C.D. (15, 20)
Solución:
a) m.c.m. (20, 30) = 60
b) m.c.m. (6, 8) = 24
c) M.C.D. (10, 12) = 2
d) M.C.D. (15, 20) = 5
Ejercicio nº 31.-¿De cuántas maneras distintas se pueden envasar en
botes 36 pelotas de tenis de forma que haya siempre el mismo número de
pelotas de tenis en cada bote?
Solución:

Ejercicio nº 32.-Un electricista tiene tres rollos de cable de 96, 120
y 144 metros de longitud. Desea cortarlos en trozos iguales de la
mayor longitud posible, sin que quede ningún trozo sobrante. ¿Qué
longitud tendrá cada trozo?
Solución:

M.C.D. (96, 120, 144) = 23  3 = 24 cm debe medir cada trozo.
Ejercicio nº 33.-¿Cuál es la capacidad del menor depósito posible que
puede llenarse con un número exacto de bidones de 12, 16 y 18 litros,
respectivamente?
Solución:

m.c.m. (12, 16, 18) = 24  32 = 16  9 = 144 litros es la capacidad
del depósito.
Ejercicio nº 34.-Responde a las preguntas y justifica tus respuestas:
a) ¿El número 48 es múltiplo de 4? Explica por qué.
b) ¿El número 12 es divisor de 84? Explica por qué.
Solución:
a) Sí; decimos que 48 es múltiplo de 4 porque su cociente es exacto 48
: 4 = 12.
b) Sí; decimos que 12 es divisor de 84 porque su cociente es exacto:
84 : 12 = 4.
Ejercicio nº 35.-Calcula todos los divisores de los siguientes
números:
a) Divisores de 24 = b) Divisores de 36 =
Solución:
a) Divisores de 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
b) Divisores de 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Ejercicio nº 36.-Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:
a) 14, ______, _______, _______, _______.
b) 13, ______, _______, _______, ________.
c) 7, _______, _______, _______, ________.
Solución:
a) 14, 28, 42, 56, 70. b) 13, 36, 39, 52, 65. c) 7, 14, 21, 28, 35.
Ejercicio nº 37.-¿Cuáles de los siguientes números son primos? ¿Por
qué?
2 7 10 12 37 43
Solución:
2 7 10 12 37 43
2, 7, 37 y 43, porque solo son divisibles por sí mismos y por la
unidad.
Ejercicio nº 38.-De entre los siguientes números, tacha los múltiplos
de 2, rodea con un círculo los múltiplos de tres y subraya los
múltiplos de cinco. ¿De que otro número son múltiplos los números que
están a la vez tachados y subrayados?
10 11 18 20 25 27 30 33 40 42
Solución:

Los números que están a la vez tachados y subrayados son múltiplos
también de 10.
Ejercicio nº 39.-Descompón en factores primos:
a) 22 b) 30 c) 644
Solución:



Ejercicio nº 40.-Calcula:
a) m.c.m. (20, 24, 36) b) M.C.D. (48, 72, 84)
Solución:
a) 20 = 22  5
24 = 23  3 m.c.m. (20, 24, 36) = 23  32  5 = 360
36 = 22  32
b) 48 = 24  3
72 = 23  32 M.C.D. (48, 72, 84) = 22  3 = 12
84 = 22  3  7
Ejercicio nº 41.-Calcula mentalmente:
a) m.c.m. (6, 9) b) m.c.m. (10, 15) c) M.C.D. (12, 16) d) M.C.D. (9,
18)
Solución:
a) m.c.m. (6, 9) = 18 b) m.c.m. (10, 15) = 30
c) M.C.D. (12, 16) = 4 d) M.C.D. (9, 18) = 9
Ejercicio nº 42.-¿De cuántas formas podemos empaquetar 45 libros si
debe haber el mismo número de libros en cada paquete?
Solución:

Ejercicio nº 43.-Un granjero ha recogido de sus gallinas 30 huevos
morenos y 48 huevos blancos. Quiere envasarlos en recipientes con la
mayor capacidad posible y con el mismo número de huevos (sin mezclar
los blancos con los morenos). ¿Cuántos huevos debe poner en cada
recipiente?
Solución:

M.C.D. (30, 80) = 2  5 = 10 huevos en cada envase.
Ejercicio nº 44.-Un cometa es visible desde la tierra cada 16 años, y
otro, cada 24 años. El último año que fueron visibles conjuntamente
fue en 1968. ¿En qué año volverán a coincidir?
Solución:

m.c.m. (16, 24) = 24  3 = 48 Coinciden cada 48 años. Volverán a
coincidir en el año
2016.
Ejercicio nº 45.-Responde a las preguntas y justifica tus respuestas:
a) ¿El número 8 es divisor de 30? Explica por qué.
b) ¿El número 155 es múltiplo de 31? Explica por qué.
Solución:
a) No; porque el cociente no es exacto: 30 : 8 = 3,75.
b) Sí; porque el cociente es exacto: 115 : 31 = 5.
Ejercicio nº 46.-Calcula todos los divisores de los siguientes
números:
a) Divisores de 60 = b) Divisores de 48 =
Solución:
a) Divisores de 60 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
b) Divisores de 48 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
Ejercicio nº 47.-Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:
a) 12, ______, _______, _______, _______.
b) 9, _______, _______, _______, _______.
c) 25, ______, _______, _______, _______.
Solución:
a) 12, 24, 36, 48, 60. b) 9, 18, 27, 36, 45. c) 25, 50, 75, 100, 125.
Ejercicio nº 48.-¿Cuáles de los siguientes números son primos? ¿Por
qué?
7 9 16 37 43 47
Solución:
7 9 16 37 43 47
7, 37, 43 y 47, porque solo son divisibles por sí mismos y por la
unidad.
Ejercicio nº 49.-En los siguientes números:
6 12 15 18 20 24 36 44 50 66 70 75
- Rodea con un círculo los múltiplos de dos.
- Encierra en un triángulo los múltiplos de tres.
- Encierra en un cuadrado los múltiplos de cinco.
- ¿Qué números quedan a la vez rodeados por un círculo y encerrados en
un cuadrado? ¿De que otro número son múltiplos?
Solución:

El 20, 50 y 70. Son múltiplos también de 10.
Ejercicio nº 50.-Descompón en factores primos:
a) 18 b) 50 c) 504
Solución:



Ejercicio nº 51.-Calcula:
a) m.c.m. (30, 60, 90) b) M.C.D. (8, 16, 24)
Solución:
a) 30 = 2  3  5
60 = 22  3  5 m.c.m. (30, 60, 90) = 22  32  5 = 180
90 = 2  32  5
b) 8 = 23
16 = 24 M.C.D. (8, 16, 24) = 23 = 8
24 = 23  3
Ejercicio nº 52.-Calcula mentalmente:
a) m.c.m. (4, 6) b) m.c.m. (5, 7) c) M.C.D. (6, 10) d) M.C.D. (8, 12)
Solución:
a) m.c.m. (4, 6) = 12 b) m.c.m. (5, 7) = 35
c) M.C.D. (6, 10) = 2 d) M.C.D. (8, 12) = 4
Ejercicio nº 53.-¿Se puede llenar un número exacto de garrafas de 15
litros con un bidón que contiene 170 litros? ¿Y con un bidón de 180
litros?
Solución:
170 : 15 = 11,3 No se puede porque el cociente no es exacto.
180 : 15 = 12 Con 180 litros se llenan, exactamente, 12 bidones de 15
litros.
Ejercicio nº 54.-El dependiente de una papelería tiene que organizar
en botes 36 bolígrafos rojos, 60 bolígrafos azules y 48 bolígrafos
negros, de forma que en cada bote haya el mayor número de bolígrafos
posible y todos tengan el mismo número sin mezclar los colores.
¿Cuántos pondrá en cada bote?
Solución:

M.C.D. (36, 48, 60) = 22  3 = 12 bolígrafos en cada bote.
Ejercicio nº 55.-Un cine tiene un número de asientos comprendido entre
200 y 250. Sabemos que el número de entradas vendidas para completar
el aforo es múltiplo de 4, de 6 y de 10. ¿Cuántos asientos tiene el
cine?
Solución:

m.c.m. (4, 6, 10) = 22  3  5 = 60
Como el número de asientos está comprendido entre 200 y 250, buscamos
un múltiplo de 60 que cumpla esa condición:
60  1 = 60
60  2 = 120
60  3 = 180
60  4 = 240 El cine tiene 240 asientos.
60  5 = 300
Ejercicio nº 56.-¿Cuáles de estos números son múltiplos de tres?
Explica por qué:15 20 19 33 49 12
Solución:
 Son múltiplos de tres los números 12, 15 y 33, porque el cociente es
exacto:
12 : 3 = 4 15 : 3 = 5 33 : 3 = 11
Ejercicio nº 57.-Calcula todos los divisores de los siguientes
números:
a) Divisores de 46 = b) Divisores de 34 =
Solución:
a) Divisores de 46 = 1, 2, 23, 46 b) Divisores de 34 = 1, 2, 17, 34
Ejercicio nº 58.-Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:
a) 14, ______, _______, _______, _______.
b) 13, ______, _______, _______, ________.
c) 7, _______, _______, _______, ________.
Solución:
a) 14, 28, 42, 56, 70. b) 13, 36, 39, 52, 65. c) 7, 14, 21, 28, 35.
Ejercicio nº 59.-¿Cuáles de los siguientes números son primos? ¿Por
qué?
7 9 16 37 43 47
Solución:
7 9 16 37 43 47
7, 37, 43 y 47, porque solo son divisibles por sí mismos y por la
unidad.
Ejercicio nº 60.-De entre los siguientes números, tacha los múltiplos
de 2, rodea con un círculo los múltiplos de tres y subraya los
múltiplos de cinco. ¿De que otro número son múltiplos los números que
están a la vez tachados y subrayados?
10 11 18 20 25 27 30 33 40 42
Solución:

Los números que están a la vez tachados y subrayados son múltiplos
también de 10.
Ejercicio nº 61.-Descompón en factores primos:
a) 18 b) 50 c) 504
Solución:



Ejercicio nº 62.-Calcula:
a) m.c.m. (30, 60, 90) b) M.C.D. (8, 16, 24)
Solución:
a) 30 = 2  3  5
60 = 22  3  5 m.c.m. (30, 60, 90) = 22  32  5 = 180
90 = 2  32  5
b) 8 = 23
16 = 24 M.C.D. (8, 16, 24) = 23 = 8
24 = 23  3
Ejercicio nº 63.-Calcula mentalmente:
a) m.c.m. (12, 24) b) m.c.m. (6, 9) c) M.C.D. (12, 16) d) M.C.D. (4,
12)
Solución:
a) m.c.m. (12, 24) = 24 b) m.c.m. (6, 9) = 18
c) M.C.D. (12, 16) = 4 d) M.C.D. (4, 12) = 4
Ejercicio nº 64.-¿De cuantas formas diferentes se puede construir un
rectángulo con 36 cuadrados iguales?
Solución:

Ejercicio nº 65.-En un albergue coinciden tres grupos de
excursionistas de 40, 56 y 72 personas cada grupo. El camarero quiere
organizar el comedor de forma que en cada mesa haya igual número de
comensales y se reúna el mayor número de personas posible sin mezclar
los grupos. ¿Cuántos comensales sentará en cada mesa?
Solución:

M.C.D. (40, 56, 72) = 23 = 8 comensales en cada mesa.
Ejercicio nº 66.-¿Cuál es la capacidad del menor depósito posible que
puede llenarse con un número exacto de bidones de 12, 16 y 18 litros,
respectivamente?
Solución:

m.c.m. (12, 16, 18) = 24  32 = 16  9 = 144 litros es la capacidad
del depósito.
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