U Niversidad De Sonora Departamento De Matemáticas Notas Límites

u niversidad de sonora departamento de matemáticas. notas: límites y continuidad dr. josé luis d

U

niversidad de Sonora
Departamento de Matemáticas.
Notas:
Límites y Continuidad
Dr. José Luis Díaz Gómez
2003
III. Límites y Continuidad de funciones

1. EL PROCESO DEL LÍMITE
Mediante gráficos y tablas de valores de las funciones se introduce el
concepto de límite de una función en un punto. También se proporciona
casos en los cuales el límite no existe.

Ejemplo 1. Con la gráfica y una tabla de valores.
¿Qué le sucede a f(x) = x2 + 3 cuando x se acerca a 3?
Solución: La figura 1.1 corresponde a la gráfica de esta función. En
ella podemos ver que entre más cerca se encuentren de 3 los valores de
x, entonces los valores de f(x) se encuentran más cercanos a 12.
La tabla 1.1 de valores refuerza esa percepción gráfica.

Tabla 1.1
Hacia 3 por la izquierda
3
Hacia 3 por la derecha
x
2,5
2,9
2,99
2,999
3,001
3,01
3,1
3,5
f(x)
9,5
11,41
11,9401
11,994001
12,006001
12,0601
12,61
15,25
Hacia 12 por la izquierda
12
Hacia 12 por la derecha
Podemos ver que a medida que tomamos valores de x más próximos a 3,
tanto para valores mayores que tres como para valores menores que 3,
los valores de f(x) se aproximan a 12.
Ejemplo 2. Con la gráfica y una tabla de valores
Si f(x) = , ¿a qué valor se aproxima f(x) si x se aproxima a
2?
Solución: La figura 1.2 muestra la gráfica de la función.
Podemos ver que, aún cuando la gráfica presenta una ruptura (hueco) en
el punto (2, 4), las imágenes de valores de x muy cercanos a 2 son muy
cercanas a 4. También una tabla de valores utilizando valores de x
próximos a 2 tanto por la izquierda (menores que 2) como por la
derecha (mayores que 2), nos convence de esa situación , ver la Tabla
1.2

Tabla 1.2
Hacia 2 por la izquierda
2
Hacia 2 por la derecha
x
1,5
1,9
1,99
1,999
2,001
2,01
2,1
2,5
f(x)
3,5
3,9
3,99
3,999
4,001
4,01
4,1
4,5
Hacia 4 por la izquierda
4
Hacia 4 por la derecha
Así, de la tabla 1.2 deducimos que los valores de f(x) se aproximan a
4 cuando los valores de x se aproximan a 2.
Ejemplo 3. Por la derecha y por la izquierda
Consideremos ahora la función g(x) = .
En su gráfica vemos que por la derecha de 0 las imágenes son 1,
mientras que por la izquierda de 0 las imágenes son -1, la gráfica
presenta un "salto" y entonces las imágenes no se acercan a un mismo
valor. Podemos ver que el límite no existe. Hagamos una tabla como las
de los ejemplos anteriores para verlo de otra manera, ver Tabla 1.3

Tabla 1.3
Hacia 0 por la izquierda
0
Hacia 0 por la derecha
x
-0,5
-0,1
-0,01
-0,001
0,001
0,01
0,1
0,5
g(x)
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
Hacia -1 por la izquierda
1|-1
Hacia 1 por la derecha
Este caso difiere de los anteriores porque si tomamos valores de x por
la izquierda de 0 entonces g(x) se hace -1, pero al tomar valores por
la derecha de 0 entonces g(x) se hace 1. Esto es: la tendencia difiere
según el lado en que tomemos los valores.

Ejemplo 4. Crecimiento ilimitado
Ahora hagamos lo mismo para f(x) = , para valores de x
cercanos a 0.
En la figura 1.4 vemos que a medida que nos acercamos a 0 por la
derecha, la gráfica de la función "sube ilimitadamente" sin
aproximarse a ningún valor en particular. Si vamos por la izquierda de
0, la gráfica de la función "baja ilimitadamente'' y tampoco se
aproxima a ningún valor en particular.
La tabla 1.4 también indica esa tendencia.

Tabla 1.4
Hacia 0 por la izquierda
0
Hacia 0 por la derecha
x
-0,5
-0,1
-0,01
-0,001
0,001
0,01
0,1
0,5
g(x)
-2
-10
-100
-1000
1000
100
10
2
Hacia ? por la izquierda
?
Hacia ? por la derecha
Viendo la tabla 1.4 y pensando en valores de x aún más próximos a 0 es
fácil convencerse que si vamos por el lado derecho los valores de f(x)
crecen ilimitadamente (se dice que crecen sin cota) y si vamos por el
lado izquierdo los valores decrecen ilimitadamente (decrecen sin
cota).
Comentario sobre los ejemplos anteriores
Estos cuatro ejemplos tienen cosas en común y cosas en las cuales
difieren:
*
En primer lugar, tienen en común el hecho de que tenemos un valor
dado de x (es decir un valor de x previamente fijado) digamos x =
c y, luego, consideramos valores de x cada vez más próximos a c,
tanto valores mayores que c (por la derecha) como valores menores
que c (por la izquierda). Esta situación se expresa diciendo que x
tiende a c y simbólicamente se indica por

En el ejemplo 1, x tiende a 3;
en el ejemplo 2, x tiende a 2;
en los ejemplos 3 y 4, x tiende a 0.
*
En segundo lugar, en los ejemplos 1 y 2, a medida que nos
aproximamos al valor dado de x, no importa si lo hacemos por la
izquierda o por la derecha, los valores de f(x) se van aproximando
a un valor fijo L. Decimos en este caso que f(x) tiende a L y
escribimos

La situación completa se expresa así:
"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L"
Simbólicamente se escribe

Se tiene entonces que


*
En el ejemplo 3 tenemos una situación diferente. En este caso,
cuando x tiende a 0 por la derecha entonces g(x) tiende a 1, pero
cuando x tiende a 0 por la izquierda se tiene que g(x) tiende a
-1.
En estas circunstancias se dice que el límite de g(x) cuando x
tiende a 0 no existe.
Es decir
no existe.
*
Finalmente, en el cuarto ejemplo tampoco existe el límite de f(x)
cuando x tiende a 0, porque la tabla no presenta tendencia hacia
ningún valor fijo sino que las imágenes crecen o decrecen sin
límite a medida que aproximamos x a 0. Esto es:
no existe.
De acuerdo con lo anterior damos la siguiente definición intuitiva de
límite.
Definición 2.1. El límite
Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si a
medida que x se acerca a c, ya sea por la derecha como por la
izquierda, entonces los valores de f(x) se aproximan a L.
Esto se escribe

La situación anterior también se puede escribir como
cuando
Esto se puede ver gráficamente en la figuras 2.22 y 2.23.


Ejemplo 6. Existencia de los límites
La figura 2.24 representa una función y = f(x).

A partir del dibujo tenemos
f(x) = 1, f(x) = 1,5
f(x) = 1, f(x) = 2,5
Por otra parte:
*
f(x) no existe porque cerca de 3 la función crece sin
cota.
*
f(x) no existe porque: si nos aproximamos a 3 por la
derecha, los valores de f(x) se aproximan a 4, y si lo hacemos por
la izquierda, los valores de f(x) se acercan a 3.
Cuando tratamos con los límites debemos tener en consideración una
serie de situaciones:
1.
El límite de f(x) cuando tiende a c puede existir aún cuando f(c)
no exista. Por ejemplo, recuerde que si
f(x) =
entonces se tiene que
= 4
y sin embargo f(2) no existe (porque en x = 2 el denominador se hace
cero).
2.
Por el contrario, puede ser que f(c) exista y sin embargo
f(x) no exista, tal es el caso si consideramos c = 4 en el gráfico
anterior.
3.
Puede ser que tanto f(x) como f(c) existan pero no sean
iguales. En el gráfico anterior se tiene, por ejemplo,
f(2) = 2,5
y
f(x) = 1,5.
4.
Finalmente, en muchas ocasiones existe el límite de la función
cuando x tiende a c y este límite es igual a f(c). Por ejemplo,
vimos antes que
(x2 + 3 ) = 12
y también, si f(x) = x2+3 entonces f(3) = 12.
De todo esto lo que debe quedar bien claro es: al calcular
f(x) lo que interesa es "lo que sucede con f(x) para valores de x muy
próximos a c y no lo que sucede en c mismo". Es decir, no importa si
f(c) existe o no existe, y si existiera no interesa quién sea; el
límite no tiene que ver con f(c) sino con los valores de f(x) para x
cercano a c.

2. CÁLCULO DE LÍMITES
En esta sección se establecen las propiedades de los límites y se dan
algunas técnicas que permiten calcular muchos límites de funciones
algebraicas, sin tener que recurrir ni a gráficas ni a tablas.
Hasta aquí hemos calculado límites mediante la elaboración de una
tabla o viendo gráficas de funciones.
En las tablas hemos escrito valores de x suficientemente cercanos al
valor x = c dado y hemos consignado las correspondientes imágenes
obtenidas mediante el uso de una calculadora. A partir de estas
imágenes hemos inferido el valor del límite o hemos determinado que no
existe.
Esto está bien para introducir el concepto y tratar de aclarar su
significado. En algunas ocasiones esto nos permite también tener una
idea bastante acertada del límite, sin embargo el uso de gráficas o de
tablas para calcular límites no es todo lo eficiente que quisiéramos.
Básicamente tenemos algunos problemas:
*
A veces no se conoce la gráfica de una función, o es muy difícil
de trazar.
*
Para algunas funciones en general es muy engorrosa la elaboración
de la tabla utilizando únicamente una sencilla calculadora.
*
No siempre el valor que uno puede inferir de la tabla es el
correcto.
Como sucede muy a menudo en matemáticas, se puede tomar atajos que nos
permiten efectuar cálculos más rápidos y, a la vez, con la certeza de
la validez de los resultados obtenidos. En el caso de los límites esto
se logra con el uso adecuado de algunos teoremas que daremos a
continuación como propiedades de los límites.
Primeramente, comentaremos dos límites especiales.
Dos límites especiales
El límite de una función constante
D e la gráfica 2.25 podemos ver que para cualquier valor de c
tenemos que
k = k

Ejemplo 7.
a.
2 = 2
b.
21/2 = 21/2
c.
3,5 = 3,5
El límite de la función identidad
D e la gráfica 2.26 podemos observar que para cualquier valor x
= c se tiene que
x = c
Ejemplo 8.
a.
x = 5
b.
x = -3
c.
x = 1/2
Propiedades de los límites
Los límites especiales comentados anteriormente junto con las
propiedades generales de los límites que vamos a dar aquí, nos
permitirán calcular una gran cantidad de límites sin recurrir a tablas
o a gráficas.
Teorema 2.1: Operaciones con límites.
Suponga que f y g son funciones tales que f(x) = L y
g(x) = M entonces se tienen las siguientes propiedades:
a.
[ f(x) + g(x) ] = L + M. "El límite de una suma de
funciones es igual a la suma de los límites de las funciones
(cuando éstos existen)''
b.
[ f(x) - g(x) ] = L - M. "El límite de una resta de
funciones es la resta de los límites de esas funciones (cuando
éstos existen)''
c.
[ f(x) g(x)] = L · M. "El límite de un producto de
funciones es el producto de los límites de esas funciones (cuando
éstos existen)"
d.
f(x) / g(x) = L / M, siempre que M distinto de 0. "El
límite de un cociente de funciones es el cociente de los límites
de esas funciones (cuando éstos existen y el límite en el
denominador es diferente de 0)"
e.
Si n es un número entero entonces [ f(x) ]n = Ln. Cuando n
es negativo se debe tener que L distinto de 0. "El límite de una
potencia de una función es la potencia del límite de esa función
(cuando éste existe y en caso de que el exponente sea negativo L
distinto de 0)"
f.
Si n es un número natural entonces [ f(x) ]1/n = L1/n. En
caso de que n sea par debemos tener L > 0. "El límite de la raíz
n-ésima de una función es la raíz n- ésima del límite de la
función (cuando éste existe y cuando n es par si es mayor o igual
que 0)"
A continuación se da una serie de ejemplos que ilustran las
propiedades indicadas. En todos los casos los cálculos están basados
en los límites de la función constante y de la función identidad ya
dados.
Aplicaciones de las propiedades de los límites

Ejemplo 9.
a.
( x + 15 ) = x + 15 = 3 + 15 = 18
b.
( x - 15 ) = x - 15 = 3 - 15 = -12
c.
4x = 4 · x = 4 · 5 = 20
d.

e.
x3 = [ x]3 = 23 = 8
f.
x1/2= [ x]1/2= 41/2 = 2

Ejemplo 10.
Calcular (x2 + 2x + 3).
Solución: Tenemos
(x2 + 2x + 3) = x2 + 2x + 3
= [ x ]2+ 2 · x + 3
= 22+2 · 2 + 3
= 4 + 4 + 3
= 11

Ejemplo 11.


Ejemplo 12.

Si usted observa detenidamente estos últimos cuatro ejemplos se dará
cuenta que basta evaluar la función en el valor hacia el que tiende x.
Esto es cierto en muchos casos, como sucede en los siguientes:

Ejemplo 13.

Pero la evaluación directa no siempre funciona. Consideremos
nuevamente

Si intentamos evaluar en 2 obtenemos

y esta es una expresión indefinida.
Límites determinados e indeterminados
D ecimos que el límite es determinado si al evaluar la función
en el valor hacia el que x tiende se obtiene el valor del límite. En
caso contrario se dice que es indeterminado. Existen varias formas
indeterminadas; la que acabamos de ver se llama la forma indeterminada
0/0. Cuando al intentar calcular un límite se obtiene una forma
indeterminada debemos echar mano de otros aspectos de la función para
encontrar el límite propuesto.
Volvamos a

Lo que sucede aquí es que
( x - 2 ) = 0
y entonces la propiedad del límite de un cociente no se puede aplicar
porque el límite del denominador es igual a 0. Sin embargo, en el
ejemplo 3 habíamos dicho, mediante el uso de una tabla, que
= 4.
¿Será que la tabla nos engañó o habrá una manera de verificar que este
valor es correcto?
La respuesta a esta pregunta está fundamentada en la siguiente
propiedad
Teorema 2.2: Dos límites coinciden si ...
Si f y g son dos funciones definidas en un intervalo abierto que
contiene a c y si
f(x) = g(x) para todo x del intervalo con x distinto a c entonces
f(x) = g(x)
En otras palabras, lo que está diciendo el teorema es que no importa
lo que pase en c, si las funciones coinciden para valores cercanos a c
los límites indicados son iguales. En el siguiente dibujo se dan tres
funciones que coinciden excepto en c. Se ve en ellas que los límites
cuando x tiende a c tienen que ser iguales.

Lo que todo esto significa es: si se logra transformar adecuadamente
la función dada en otra que sea equivalente a ella (salvo en el valor
c dado) y si la función nueva tiene un límite determinado, entonces:
éste es también el límite de la función original.
Regresando una vez más a
,
sabemos que
= = x + 2
siempre que x distinto de 2.
De esta manera, según el teorema:
= ( x + 2) = 2 + 2 = 4
tal como lo indicaba la tabla.
Cálculo de límites: métodos
A partir del ejemplo anterior vemos que con el objeto de realizar
estas transformaciones se utiliza los conocimientos del álgebra básica
tales como operaciones con fracciones racionales, factorización de
polinomios, racionalización y simplificación de expresiones
algebraicas en general.
A continuación se presenta varios ejemplos que ilustran estos
procedimientos. En todos los casos se trata de límites indeterminados
de la forma 0/0. Cuando esté calculando límites haga siempre en primer
lugar la evaluación porque si el límite no es indeterminado no es
necesario realizar las transformaciones por más "extraña" que sea la
función.
Primer método: factorizar y simplificar

Ejemplo 14.


Ejemplo 15.


Ejemplo 16.

Segundo método: racionalizar y simplificar

Ejemplo 17.
Calcular .
Solución: En los casos anteriores utilizamos factorización y
simplificación para obtener una nueva función. Aquí lo más conveniente
es racionalizar el denominador; para ello multiplicamos tanto el
numerador como el denominador de la fracción por $\sqrt{x} +2$.


Ejemplo 18.


Ejemplo 19.
Calcular
Solución: Aquí racionalizamos el denominador:

Tercer método: combinación de los anteriores

Ejemplo 20.


Ejemplo 21.


Ejemplo 22.
Calcular
Solución: En este caso procedemos por "doble racionalización", del
siguiente modo:


Ejemplo 23.
Calcular
Solución: Transformamos la función utilizando las operaciones con
expresiones algebraicas.


Ejemplo 24.
Calcular
Solución: Observe que en este caso aparecen dos variables: x y h. Para
efectos del cálculo del límite es h la que hacemos variar hacia 0
(pues dice h tiende a 0), la x se trata como si fuera constante.
Tenemos entonces:


3. LOS LÍMITES LATERALES
En el Capítulo 1 estudiamos

E n esa ocasión, mediante una tabla vimos que el límite no
existe, pues si tomamos valores de x cada vez más próximos a 0 pero
mayores que 0 se obtiene como resultado 1, mientras que si lo hacemos
por la izquierda se obtiene como resultado -1. Sin embargo, podemos
hablar de una manera más restringida de límite por la izquierda y
límite por la derecha.
En el caso que nos ocupa decimos que el límite por la derecha es 1 y
que el límite por la izquierda es -1.
Definición 3.1. Límites laterales
Decimos que el límite por la derecha de f(x) cuando x tiende a c es L,
si a medida que tomamos valores de x, cada vez más próximos a c, pero
mayores que c, entonces f(x) se aproxima a L. Simbólicamente

Decimos que el límite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a c es
M, si a medida que tomamos valores de x, cada vez más próximos a c,
pero menores que c, entonces f(x) se aproxima a M. Simbólicamente


Funciones definidas "por partes"

Ejemplo 1.
Considere una función definida "por partes" como sigue:

E l significado de esto es el siguiente: si queremos calcular
la imagen de algún número menor que 1 usamos la primera fórmula. Por
ejemplo,
f(0,5) = 4 + 0,5 = 4,5,
f(0) = 4 + 0 = 4,
f(-3) = 4 + (-3) = 1, etc.
Mientras que si queremos determinar la imagen de 1 o de valores
mayores que 1 entonces usamos la segunda fórmula; así, por ejemplo:
f(1) = 12 + 1 = 2,
f(1,5) = (1,5)2 + 1 = 2,25 + 1 = 3,25,
f(2)=22 + 1 = 5, etc.
Queremos ver qué pasa cerca de 1.
Si tomamos valores de x por la izquierda de 1 usamos para las imágenes
la forma x + 4 y, entonces, el límite por la izquierda de f(x) cuando
x tiende a 1 es

Mientras tanto, si tomamos valores de x por la derecha de 1 usamos la
forma x2 + 1. Por lo tanto

Observe en este ejemplo anterior que el límite de f(x) cuando
no existe (la figura 3.3 representa la gráfica de esa función).
En realidad, para que un límite exista debe existir tanto por la
derecha como por la izquierda y ambos deben ser iguales.
En funciones definidas "por partes", como la anterior, si se quiere
verificar la existencia del límite en el punto o puntos donde se
parte, deben calcularse separadamente los dos límites laterales y
corroborarse si son iguales o no.

Ejemplo 2.
Considere la función

Determinar si existe el .
Solución: Tenemos


Concluimos que no existe.

Ejemplo 3.
Dada la función

Determinar si existe el .
Solución: Tenemos
,

Concluimos que .

4. CONTINUIDAD
Al final de la Sección 2.2, se hicieron algunas observaciones sobre
las posibles relaciones entre la existencia de y el valor f(c).
Retomemos esas observaciones y veamos su significado gráfico.
1.
E n esta gráfica se tiene que:
*
sí existe
*
f(c) no existe
2.
E n estas gráficas se tiene que:
*
no existe
*
f(c) sí existe
3.
E n esta gráfica se tiene que:
*
sí existe
*
f(c) sí existe, pero
*

4.
E n esta gráfica se tiene que:
*
sí existe
*
f(c) sí existe y además
*

Un vistazo a las figuras anteriores nos permite darnos cuenta que,
salvo en la última, en todas las demás la gráfica de la función
presenta algún tipo de ruptura de la curva sobre el valor de x=c. En
otras palabras solamente la gráfica del último caso podría ser
dibujada "sin levantar el lápiz del papel". Esta última es la que
intuitivamente llamaríamos una función continua. Precisamente la
definición de continuidad está basada en la situación que se presenta
en este último caso.
Definición 3.2. Continuidad
Suponga que f es una función que está definida en algún intervalo
abierto que contenga a c. Decimos que la función f es continua en x=c
si se tienen las siguientes condiciones:
1.
Existe f(c), esto es: c está en el dominio de f.
2.
También existe .
3.
Además .
Si f no es continua en c se dice que es discontinua en c.

Ejemplo 4. Discusión sobre la continuidad de algunas funciones
1.
Si tenemos una función constante f(x)=k, sabemos que para
cualquier c se tiene =k y además f(c)=k. Esto nos dice que
es un función continua.
2.
La función identidad f(x)=x también es continua pues f(c)=c y
.
3.
La función es
a.
discontinua en 1 porque f(1) no existe, pero
b.
continua en todos los demás puntos. Por ejemplo f(2)=3 y

En realidad, si al calcular un límite cuando x tiende a c éste se
obtiene por simple evaluación (es decir: no es un límite
indeterminado), entonces la función es continua en c.
Teorema 3.1. Operaciones con funciones continuas
Si f y g son funciones continuas en x=c entonces también son continuas
en c la suma f + g, la diferencia f - g, el producto f · g y, si g(c)
0, el cociente f / g.
Por otra parte, si g es continua en c y f es continua en g(c) entonces
la composición f ° g es continua en c.
De acuerdo con este teorema y los puntos 1 y 2 del ejemplo anterior se
tiene que la mayoría de las funciones que manejamos en este nivel son
continuas en todos los puntos o casi en todos los puntos. Pues,
efectivamente, estas funciones se obtienen mediante la combinación de
las operaciones indicadas en el teorema a partir de la función
identidad y de las funciones constantes.

Ejemplo 5. Funciones continuas
Las siguientes funciones son continuas en todos los puntos de R:
1.
f(x)=3x2+5x-1
2.

3.


Ejemplo 6. Funciones continuas y discontinuas
1.
La función es discontinua en x = 3 y en x = -3 pues no
existen ni f(3) ni f(-3) (en estos casos el denominador se anula).
En todos los demás valores en R la función es continua.
2.
La función es continua para todo valor x > 1.
Continuidad en un intervalo
En general, decimos que una función es continua en R si es continua
para todo x en R. También decimos que es continua en un intervalo
abierto I si es continua para toda x en I.
*
Nota: En el punto 2 del ejemplo anterior se tiene que el dominio
de la función es el intervalo [1,+ [. En ese caso no tiene
sentido hablar de pues la función no está definida para
valores menores que 1. Pero en estas circunstancias diremos que f
es continua en [1,+ [porque es continua en ]1,+ [ y
además


Ejemplo 7. Continuidad de una función racional
Determinar en qué conjunto es continua la siguiente función:

Solución: El dominio de esta función es R-{3} y la función es continua
en todo su dominio.

Ejemplo 8. Continuidad de una función con una raíz en el denominador
Determinar dónde es continua la función

Solución: Esta es una función continua en todo su dominio, es decir en
]-1,1[.

Ejemplo 9. Continuidad de una función definida por partes
D eterminar dónde es continua la función

Solución: Aquí tenemos una función definida por partes. Dentro de cada
parte la función es continua, pero podría haber problemas con los
límites en los puntos de división 0 y 2.
Tenemos


y además
h(0)=02+1=1,
por lo tanto la función es continua en 0.
Por otro lado,


Esto dice que

no existe y por lo tanto h no es continua en 2.
Resumiendo la información decimos que h es continua en R-{2}.

Ejemplo 10. Buscar la continuidad si hay un parámetro
Encontrar un valor de d para el cual la siguiente función sea continua
en todo R.

Solución: Dentro de cada parte la función es continua. Para que además
sea continua en 2, debemos tener que

Es decir,
4d-3=2d+2
Resolviendo esta ecuación resulta
4d-2d = 2+3
2d = 5
d = 5/2
Entonces si d=5/2 se tiene que f es continua en todo R.

5. FUNCIONES DISCONTINUAS
Hemos visto anteriormente que las funciones pueden tener
discontinuidades en algunos puntos. Básicamente la dicontinuidad en
algún punto x=c se presenta por alguna de las razones siguientes:
A.
El límite no existe.
B.
El límite sí existe pero f(c) no existe.
C.
El límite sí existe, f(c) también existe, pero

D.
Ni f(c) ni existen.

Ejemplo 11. Discontinuidades de diferentes tipos
En la figura 3.16 se presenta una función f:

Podemos ver que la función presenta cuatro puntos de discontinuidad.
En x=a se tiene que f(a) existe pero no existe.
En x=b se tiene que f(b) no existe y tampoco existe.
En x=c se tiene que f(c) no existe pero si existe.
En x=d se tiene que f(a) existe, también existe, pero

Observando bien la gráfica, podemos ver que las discontinuidades son
de diferente tipo. En c y en d la gráfica solo representa una "leve"
ruptura, solo se interrumpe en un punto. Mientras que en a la gráfica
"salta" de un lugar a otro y en b la gráfica "baja" indefinidamente.
En los puntos en los que la gráfica solo se interrumpe en un punto
sucede que el límite existe, mientras que en las otras circunstancias
el límite no existe. Con base en esto damos la definición siguiente.
Definición 3.3. Tipos de discontinuidad
Sea f discontinua en x=c, decimos que
(a) la discontinuidad es evitable si existe.
(b) la discontinuidad es inevitable si no existe.
En este caso, si
y
existen pero son diferentes, se dice que la discontinuidad es de salto.

Ejemplo 12. Clasificando discontinuidades
Para la función cuya gráfica se da en la figura 3.16 (ejemplo 11), las
discontinuidades en x=c y en x=d son evitables. Las discontinuidades
en a y b son inevitables. Por otra parte, la discontinuidad en a es
una discontinuidad de salto.
Los nombres que se dieron en la definición anterior son bastante
claros en cuanto a su significado. Si se tiene una discontinuidad
evitable en x=c bastaría redefinir
f(c)=
para obtener una nueva función que sí es continua en x=c (así se
evitaría la discontinuidad).
Esto no se puede hacer en el caso de discontinuidades inevitables.

Ejemplo 13. Calculando discontinuidades evitables e inevitables
Determinar cuáles son los puntos de discontinuidad de la función

Indicar cuáles son evitables y cuáles son inevitables.
Solución: La función está definida en R-{1,3} tiene entonces dos
puntos de discontinuidad: en x=1 y en x=3
Tenemos que
y
por lo tanto

y entonces en x=1 hay una discontinuidad evitable.
Por otra parte
y
por lo tanto
no existe
por lo que en x=3 hay una discontinuidad inevitable y es de salto
(porque existen los dos límites laterales).

Ejemplo 14. Redefiniendo una función
Determine los puntos de discontinuidad de la función

y redefina la función para que sea continua en R.
Solución: La función es discontinua en x=1 y además

La discontinuidad es evitable y si escribimos

obtenemos una función idéntica a la función dada (salvo en x=1) y
además continua en x=1.


6. LÍMITES INFINITOS Y ASÍNTOTAS VERTICALES
Consideremos el siguiente límite

Como podemos ver de la gráfica, si hacemos variar x tendiendo a 0 (por
la derecha y por la izquierda), la gráfica "sube" ilimitadamente.

Construyamos, además, una tabla con valores de x cercanos a 0.
Tabla 4.1
Hacia 0 por la izquierda
0
Hacia 0 por la derecha
x
-0,5
-0,1
-0,01
-0,001
0,001
0,01
0,1
0,5
1/|x|
2
10
100
1000
1000
100
10
2
Hacia ? por la izquierda
?
Hacia ? por la derecha
De acuerdo con la gráfica y con la tabla 4.1, decimos que el límite
propuesto no existe porque a medida que nos aproximamos a cero tanto
por la derecha como por la izquierda tenemos que los valores de la
función crecen ilimitadamente.
Límites infinitos
En la situación expuesta anteriormente dijimos que el límite no
existe, pero esa situación especial en la que f(x) crece
ilimitadamente se expresa diciendo que f(x) tiende a infinito.
Escribimos

Una definición informal de esta situación sería la siguiente:
Definición 4.1. Límites infinitos
Decimos que f(x) tiende a infinito cuando x tiende a c si se puede
hacer f(x) tan grande como se quiera al escoger x suficientemente
cercano a c. Se escribe

(Esto se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a c es infinito).
De un modo parecido definimos la notación

(el límite de f(x) cuando x tiende a c es menos infinito).

Ejemplo 1. Límite infinito cuando x tiende a 0.
Considere . Realicemos una tabla de valores tomando x muy
cercano a 0
Tabla 4.2
Hacia 0 por la izquierda
0
Hacia 0 por la derecha
x
-0,5
-0,1
-0,01
-0,001
0,001
0,01
0,1
0,5
-1/x2
-4
-100
-10000
-1000000
-1000000
-10000
-100
-4
Hacia ? por la izquierda
?
Hacia ? por la derecha
Es bastante claro, a partir de la tabla 4.2, que

La figura 4.2 representa la gráfica de esta función.


Ejemplo 2. Límite infinito cuando x tiende a 1.
Consideremos la función . Esta es una tabla de valores tomando
x cercano a 1.
Tabla 4.3
Hacia 0 por la izquierda
0
Hacia 0 por la derecha
x
0,5
0,9
0,99
0,999
1,001
1,01
1,1
1,5
1/(x-1)
-2
-10
-100
-1000
1000
100
10
2
Hacia ? por la izquierda
?
Hacia ? por la derecha
A partir de la tabla 4.3 podemos decir que

La gráfica de esta función se representa en la figura 4.3.

Asíntotas
Las gráficas de las situaciones dadas anteriormente tienen cierta
característica en común: en los tres casos hay una recta vertical a la
cual la función "se va pegando". Estas rectas se llaman asíntotas.
Así, la función

tiene una asíntota vertical que es el eje y. También la función

tiene al eje y como asíntota vertical. Mientras tanto la función

tiene a la recta x=1 como asíntota vertical.
En general, podemos dar la siguiente definición:
Definición 4.2. Asíntota vertical
La recta x=c es una asíntota vertical de f(x) si se cumple al menos
una de las siguientes posibilidades:

Los dos teoremas siguientes son muy útiles en el cálculo de límites
infinitos.
Teorema 4.1. El límite
1.
Si n es un número entero positivo par, entonces
2.
Si n es un entero positivo impar entonces y

Ejemplo 3. Aplicación del teorema 4.1.
De acuerdo con el teorema anterior tenemos que
1.
(pues 2 es un número par).
2.
(pues 3 es impar).
3.
(pues 3 es impar).
4.
(aquí tenemos que el exponente del denominador es 1, que
es impar).
Teorema 4.2. Operaciones con límites infinitos
Suponga que y que (algún número L) entonces:
1. .
2. Si L>0, entonces y .
3. Si L<0, entonces y .
4. .
Teoremas análogos se pueden dar para el caso de y también para
cuando y .

Ejemplo 4. Aplicaciones del teorema 4..
C alcular los siguientes límites.
1.
2.
3.
4.
5.
Solución:
1.
Observe que podemos escribir

y tenemos

Entonces, por el punto 2 del teorema se tiene que

2.
En este caso:

y tenemos

Por lo tanto (punto 2 del teorema):

3.
Procedemos de modo parecido en este caso:

y como

entonces

4.
Tenemos que
y
entonces, por el punto 1 del teorema,

5.
Descomponemos la función de la siguiente manera

Ahora,

y entonces, por el punto 3 del teorema:


Ejemplo 5. Asíntotas verticales.
Determinar las asíntotas verticales de
Solución: Podemos escribir

Vemos que el denominador se hace 0 cuando x=-2 o x=1/2 de manera que
hay dos posibles asíntotas verticales: x=-2 y x=1/2.
Calculamos
,

y por lo tanto ambas rectas son asíntotas verticales.

Ejemplo 6. Un cero del denominador que no es asíntota vertical.
Determinar las asíntotas verticales de

Solución: Tenemos

Por lo tanto hay dos posibles asíntotas verticales: x=3 y x=2.
Ahora calculamos


Lo anterior dice que la recta x=2 es asíntota vertical, pero x=3 es
asíntota vertical porque el límite considerado no es ni ni
.


7. LÍMITES AL INFINITO Y ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Límites al infinito
En lo que sigue vamos a estudiar los límites infinitos para diversas
funciones.
Aquí consideraremos un problema diferente al considerado en capítulos
anteriores. En ellos nos hemos preguntado qué pasa con f(x) cuando x
se aproxima a un valor determinado c. Aquí nos preguntaremos qué pasa
con f(x) cuando x crece ilimitadamente (x crece sin cota) o cuando
decrece ilimitadamente (decrece sin cota). Estos son los límites al
infinito.

Ejemplo 7. Crecimiento ilimitado de x.
Sea , nos preguntamos:
a) ¿Qué sucede con f(x) si hacemos crecer a x ilimitadamente?
b) ¿Qué sucede con f(x) si hacemos decrecer a x ilimitadamente? (esto
es, si tomamos valores negativos de x cada vez "más abajo")
Solución: La gráfica de la función indica que a medida que x crece o
decrece ilimitadamente, los valores de f(x) se acercan arbitrariamente
a 2.
a) Construyamos una tabla de valores que nos refuerza lo que vemos en
la gráfica:
Tabla 4.4
Hacia
x
10
100
1000
10000
100000
f(x)
3,125
2,091836
2,009018
2,0009
2,00009
Hacia 2
Con la tabla 4.4 comprobamos que a medida que los valores de x crecen
sin cota, los valores de f(x) se aproximan a 2.
La expresión "x crece sin cota" se simboliza con y se dice que
x tiende a infinito. Toda la situación anterior se escribe
simbólicamente como

b) Para comprobar la respuesta también construiremos una tabla de
valores.
Tabla 4.5
Hacia
x
-10
-100
-1000
-10000
-100000
f(x)
1,25
1,911764
1,991017
1,9991
1,99991
Hacia 2
Nuevamente, a partir de la tabla 4.5 vemos que a medida que los
valores de x decrecen sin cota, los valores de f(x) se aproximan a 2.
La expresión "x decrece sin cota" se simboliza con y se dice
que x tiende a menos infinito. La situación anterior se escribe
simbólicamente como

Podemos dar una definición informal para estas situaciones.
Definición 4.3. Límites al infinito
a.
Decimos que el límite cuando x tiende a infinito de f(x) es igual
a L si a medida que hacemos crecer x ilimitadamente entonces los
valores de f(x) se aproximan a L. Simbólicamente

(Esto se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a infinito es L).
b.
Decimos que el límite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es
igual a M si a medida que hacemos decrecer x ilimitadamente
entonces los valores de f(x) se aproximan a M. Simbólicamente

(Esto se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito es M).
Asíntotas horizontales
L a figura 4.11 representa la gráfica de

Note que en el dibujo, además de la asíntota vertical x=2, se observa
otra recta a la cual la gráfica de la función se "va pegando": ésta es
la recta horizontal y=2. Estas rectas se llaman asíntotas horizontales
de la gráfica de f(x) y están estrechamente relacionadas con los
límite al infinito. De hecho, podemos dar la siguiente definición:
Definición 4.4. Asíntota horizontal
Decimos que la recta y=k es una asíntota horizontal de la gráfica de f
si se cumple que
o que

Ejemplo 8. Dos asíntotas horizontales.
En la figura 4.12 se representa la gráfica de una función f.

Ahí vemos que hay dos asíntotas horizontales que son y=-3, y=4.
Tenemos y .
El siguiente teorema nos sirve para calcular límites al infinito.
Teorema 4.3. Propiedades de los límites al infinito
1.
Si k es una constante entonces y
2.
Si n es un número natural par entonces y
3.
Si n es un número natural impar entonces y
4.
Si m es un número natural par entonces
5.
Si m es un número natural impar entonces y
6.
Si k es un número racional positivo y r es un número real
arbitrario entonces y siempre que xk esté
definido.
Además, son válidas las propiedades dadas en los teoremas 2.1 y 4.2 si
en vez de x tiende a c escribimos o escribimos .
Aplicaciones del Teorema 4.3

Ejemplo 9.
*
, por el punto 1 del teorema anterior tomando k=439.
*
y , por el punto 2 del teorema, tomando n=2 (par).
*
y , por el punto 3 del teorema, tomando n=5
(impar).
*
, por el punto 4 del teorema, tomando m=2 (par).
*
y , por el punto 5 del teorema, tomando m=3
(impar).
*
y , por el punto 6 del teorema, tomando r=42 y k=4.

Ejemplo 10. Un método para calcular ciertos límites al infinito.
*
Calcular
Solución: Tenemos

*
Calcular .
Solución: Usualmente, con el fin de utilizar las propiedades
anteriores, se procede en estos casos del siguiente modo:

Observe que lo que se hizo fue factorizar la expresión "sacando" el
término de mayor exponente, por esta razón dentro del paréntesis
quedan fracciones en las que aparece la variable en el denominador. El
objetivo que se persigue con esto es muy claro: estas fracciones que
acabamos de mencionar tienden a 0 y, por lo tanto, el límite solo va a
depender del término de mayor exponente. Entonces,
(¿por qué?)
El procedimiento que acabamos de utilizar en el ejemplo anterior se
usa en el cálculo de muchos de los límites al infinito.
*
Calcular
Solución: Procedemos del siguiente modo:

Límites al infinito de funciones polinomiales
El procedimiento usado es bastante general y podemos deducir de él las
dos reglas siguientes.
Regla 1: Si tenemos un polinomio p(x)=anxn+an-1xn-1+ ··· +a1x+a0 (con
an diferente de 0) entonces

y también

Regla 2: Si tenemos dos polinomios p(x)=anxn+an-1xn-1+ ··· +a1x+a0
(con an distinto de 0) y q(x)=bmxm+bm-1xm-1+ ··· +b1x+b0 (con bm
distinto de 0) entonces

y además

Simplemente lo que dicen las dos reglas anteriores es que al calcular
los límites al infinito de un polinomio basta considerar solo el
término de mayor grado. Del mismo modo, al calcular los límites al
infinito de un cociente de polinomios basta considerar solamente el
cociente de los términos de mayor grado de ambos polinomios.

Ejemplo 11. Cálculo de asíntotas horizontales.
Determinar las asíntotas horizontales de las siguientes funciones
a) f(x)=2x3-4x+1
b)
c)
Solución:
a.
(según la regla 1).
Por otra parte
De modo que f no tiene asíntotas horizontales.
b.
(según la regla 2).
.
Tampoco esta función tiene asíntotas horizontales.
c.
(según la regla 2).

Por lo tanto h tiene una asíntota horizontal y = 0.